ALGEBRA LINEAL
Es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales
MATRIZ
Se denomina MATRIZ todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular formando filas y columnas.
tipos de matrices
Fila
Constituida por una sola fila
Columna
Constituida por una sola Columna
Nula
En una matriz nula todos los elementos son 0
Cuadrada
Pueden ser
Triangular Inferior
Es una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros
Simetrica
Es una matriz simétrica cuadrada que verifica A = At
Antisimetrica
Es una matriz antisimetrica o himesimetrica cuadrada que verifica A = -At
Diagonal
Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos
Triangular superior
Es una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros
Identidad
Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1
Rectangular
Tiene distinto numero de filas que de columnas
Escalar
Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Transpuesta
intercambio de filas y columnas una matriz transpuesta es simétrica si A = At
Regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Sea A una matriz cuadrada de orden n, se define el determinante de A y se suele denotar por |A| o bien det(A) a la suma de los n! productos (signados) formados por n-factores que se obtienen al multiplicar n-elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un solo elemento de cada fila y columna de A.
donde:
(j1,j2,...,jn) es una de las n! permutaciones del conjunto {1,2,....,n}
sk es el número de trasposiciones requeridos para reordenar la permutación {j1,j2,...,jn} en el orden de {1,2,...,n}
Determinante de matrices de orden 2
las permutaciones a considerar son
{1,2} con 0 trasposiciones
{2,1} con 1 trasposición
por tanto el sumatorio sería:
De donde obtenemos la regla de determinantes para matrices de orden 2.
Determinante de matrices de orden 3
Consideremos la siguiente matriz genérica
Si intentamos estudiar ahora la definición del determinante de esta matriz, tendremos que estudiar en primer lugar las permutaciones posibles de 3 elementos así como sus trasposiciones, y tendremos
{1,2,3} inversiones =0
{1,3,2} inversiones = 1
{3,2,1} inversiones = 1
{3,1,2} inversiones = 2
{2,1,3} inversiones = 1
{2,3,1} inversiones = 2
En consecuencia según la definición de determinante:
Desarrollo de un determinante por los ADJUNTOS de una línea
Un método general para calcular determinantes consiste en desarrollar el mismo por los ADJUNTOS de una línea. Para poder explicar este método vamos a introducir dos conceptos necesarios: MENOR COMPLEMENTARIO de un elemento dado, y ADJUNTO O COFACTOR de un elemento.
RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES
también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
ECUACIONES SIMULTANEAS
es un modelo estadístico que viene dado por un conjunto de ecuaciones lineales. A menudo se utilizan en econometría para encontrar valores de los parámetros que se encuentran correlacionados y que suceden paralelamente, por ejemplo, en las estimaciones de la oferta y la demanda.
sistema de ecuaciones simultaneas de tres ecuaciones con 3 incognitas
las ecuaciones simultaneas de tres por tres con solucion o sin solucion
los sistemas simultaneas lineales con dos incognitas
métodos algebraicos
grafico
consiste en graficar las rectas que correspondan a las ecuaciones que forman el sistema, el punto donde se cortan las rectas es la solución al sistema.
sustitucion
consiste es despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones dadas: luego se reemplaza dicho valor en la otra ecuación y se despeja nuevamente la otra: este valor reemplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para hallar la variable inicial.
igualacion
para resolver, se despeja la misma variable en las dos ecuaciones dadas. luego se igualan las expresiones obtenidas y se despeja la otra variable. este valor se reemplaza en cualquier de las ecuaciones del sistema para encontrar el valor faltante.
reduccion
por este método, se reducen las dos ecuaciones a una sola sumándolas. para esto, es necesario amplificar convenientemente una de las dos, de modo que los coeficientes en una de las variables sean opuestos. al sumar las ecuaciones la variable se elimina y es posible despejar la otra. luego se procede como en los métodos anteriores.
las ecuaciones lineales: punto de intersección de las rectas y casos en que son paralelas
SISTEMAS DE ECUACIONES
es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas operaciones.