Непараметрические критерии

Критерий знаков

Предназначен для установления общего направления сдвига изучаемого признака.

Сдвигом называют разность между вторым и первым измерениями. Критерий знаков позволяет установить, в какую сторону в выборке в целом произошли изменения (произошло увеличение значений, уменьшение или значения не изменились).

После заполнения таблицы подсчитывается общее число положительных и отрицательных сдвигов и вводятся следующие понятия:

типичный сдвиг – сдвиг, чаще встречающийся в выборке;
нетипичный сдвиг – сдвиг, реже встречающийся в выборке.

Количество нетипичных сдвигов является наблюдаемым значением критерия.

При проверке гипотезы с помощью программы Statistica ориентируемся на p-уровень.

Ограничения критерия:

выборки должны быть зависимыми и иметь парные измерения;
критерий неприменим, когда количество типичных и нетипичных сдвигов одинаково.

Применяется для сопоставления показателей, измеренных в трех или более условиях на одной и той же выборке испытуемых. Критерий позволяет установить, что значения измеряемого признака изменяются от выборки к выборке, но не указывает направление изменений. При обработке данных ранжируются не сдвиги, а сами значения, полученные испытуемыми в первом, втором, третьем, … измерениях.

Суть метода:

Если различия между значениями признака, полученными при разных условиях, случайны, то суммы рангов в группах будут примерно равны. Если значения признака изменяются в различных условиях каким-то определенным образом, то в одной выборке будут преобладать высокие ранги, в другой – низкие. Тогда суммы рангов будут сильно отличаться друг от друга.
Эмпирическое значение показывает, насколько различаются суммы рангов. Чем оно больше, тем более существенны различия.

Критерий Фридмана основан на ранжировании значений, полученных у одного объекта в разных измерениях. Потому для вычисления наблюдаемого значения критерия полученные данные ранжируют по строкам и подсчитывают суммы рангов в столбцах.

• если p < 0,05, то нулевую гипотезу отвергаем, принимаем конкурирующую
• если p > 0,05, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу

Этот критерий также используется для связанных (зависимых) выборок, но он может применяться только для изучения признака, измеренного в метрической или ранговой шкале, так как учитывает не только направление сдвига, но и его выраженность. Критерий Вилкоксона является более мощным, чем критерий знаков.

Критерий Вилкоксона основан на ранжировании абсолютных значений сдвига (то есть, значений сдвига, взятых по модулю). Поэтому сдвиги должны варьироваться в достаточно широком диапазоне, иначе данный критерий не будет отличаться от критерия знаков.

Суть метода:

Сопоставляется выраженность по абсолютной величине сдвигов в том или ином направлении. Для этого ранжируются абсолютные величины сдвигов и суммируются полученные ранги.

Если сдвиги в какую-либо сторону происходят случайно, то суммы рангов будут примерно равны.
Если интенсивность сдвигов в одном направлении перевешивает, то сумма рангов противоположных по направлению сдвигов будет значительно меньше, чем это могло бы быть при случайном изменении. Это говорит о действии фактора.

Наблюдаемое значение критерия равно сумме рангов нетипичных сдвигов.

При расчете "вручную" по таблице критических точек находим значение Ткр(α, n'), где n' -объем выборки за вычетом нулевых сдвигов.

Если Тн ≤ Ткр, то гипотеза Н0 отвергается, принимается гипотеза Н1; нетипичных сдвигов немного и они невелики по абсолютному значению, преобладание типичного сдвига является неслучайным, оно обусловлено влиянием фактора.

Если Тн > Тк, то нет оснований отвергать гипотезу Н0; нетипичных сдвигов много и они не малы по значению, преобладание типичного сдвига является случайным.

При проверке гипотезы с помощью программы Statistica ориентируемся на p-уровень.

Ограничения критерия:

Выборки должны быть зависимыми и иметь парные измерения.
Сдвиги должны варьировать в широком диапазоне (иначе критерий Вилкоксона будет аналогичен критерию знаков).

U - критерий Манна - Уитни.
Этот критерий является одним из наиболее распространенных и мощных критериев для независимых выборок. Он предназначен для оценки различий между двумя выборками. Он удобен для малых выборок при обработке вручную. Критерий основан на ранжировании значений обеих выборок, объединенных в один общий ряд.

Гипотезы выдвигаются, как и в других непараметрических критериях:
• H0 - функции распределения изучаемых величин равны
• H1 - функции распределения изучаемых величин не равны

Для обработки экспериментальных данных с помощью данного критерия, выполняют следующие действия:
1) Полученные данные объединяют, то есть представляют как один ряд и упорядочивают его по возрастанию значений.
2) Значения ранжируют по возрастанию признака по тем же правилам, что и в критерии Вилкоксона.
3) Подсчитывают суммы рангов первой и второй выборки.
4) Вычисляют наблюдаемое значение критерия.
5) По таблице критических точек распределения Манна – Уитни находят критическое значение, которое зависит от уровня значимости и от объемов выборок nX и nY.
6) Осуществляют выбор гипотезы, учитывая, что критерий левосторонний.

H - критерий Крускала – Уоллиса.
Критерий предназначен для оценки различий между тремя и более выборками одновременно. Он позволяет установить, что признак изменяется при переходе от группы к группе, но не указывает на направление изменений. Является обобщением критерия Манна-Уитни на большее число выборок

Все индивидуальные значения объединяются и ранжируются в общем ряду. Затем подсчитываются суммы рангов в каждой выборке. Если различия являются случайными, то высокие и низкие ранги равномерно распределятся в выборках. Если в одной группе будут преобладать высокие ранги, а в другой низкие, то это говорит о том, что различия не случайны, а обусловлены действием фактора.