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三角函數

用途

用來解三角形的邊長、面積、外接圓半徑‧‧‧之類的

起源

三角學的概念起源甚早,在古文獻「萊因德紙草書」出土後證據顯示古埃及人己有實用三角學的粗略概念,來保持金字塔每邊都有相同的斜度,只是當時並沒有使用餘切這個名詞而已。至西元前150年至100年間,希臘人熱衷天文學,開始研究三角學,於是三角學漸漸有了雛形。

三角函數表

三角函數表包括正弦、餘弦、正切和餘切函數表。 希臘天文學家,托勒密﹝85-165﹞在他的《天文集》中包括了從0°到90°的每隔半度的弦表,其作用相當於從0°到90°的每隔半度的弦表,其作用相當於從0°到90°的每隔﹝1/4﹞°的正弦函數表;印度阿利耶毗陀﹝476-550﹞製作了一個正弦表,是按巴比倫和希臘人的習慣而定的。他把圓周分成360°,每度分成60份,整個圓周為21600份,然後據 2πr=216000,得出r=3438﹝近似值﹞,然後用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之後,再用半角公式算出較小角的正弦值,從而獲得每隔3°45'的正弦長表;公元920年左右,阿爾‧巴坦尼﹝850-929﹞造出自0°到90°相隔1°的餘切表;阿布爾‧威發﹝940-998,今伊朗東北部人﹞計算了每隔10'的正弦表和正切表。 14世紀中葉,中亞細亞的兀魯伯﹝1393-1449﹞,原是成吉思汗的後裔,他組織了大規模的天文觀測和數學用表的計算。他的正弦表精確到小數9位。他還製造了30°到45°之間相隔為1',45°到90°的相隔為5'的正切表。 歐洲的「文藝復興時期」,﹝14世紀-16世紀﹞偉大的天文學家哥白尼﹝1473-1543﹞提倡地動學說,他的學生利提克斯﹝1514-1576﹞見到當時天文觀測日益精密,認為推算更精確的三角函數值表刻不容緩。於是他定圓的半徑為1015,以製作每隔10"的正弦、正切及正割值表。當時還沒有對數,更沒有計算機。全靠筆算,任務十分繁重。利提克斯和他的助手們以堅毅不拔的意志,勤奮工作達12年之久,遺憾的是,他生前沒能完成這項工作,直到1596年,才由他的學生鄂圖﹝1550-1605﹞完成並公佈於世,1613年海得堡的彼提克斯﹝1561-1613﹞又不辭勞苦地修訂了利提克斯的三角函數表,重新再版。後來英國數學家納皮爾發現了對數,這就大大地簡化了三角計算,為進一步造出更精確的三角函數表創造了條件。.

公式

基本法則. 半角三角函數. 合積互變公式. 和差化積公式( 任意數a.b). 二倍角公式. 三倍角公式. 兩角和差的三角函數. 三角和的三角函數. 特別的積商公式. 1. sin2θ+cos2θ=1. 2.sinθ=cos(90o-θ). 3.tanθ=sinθ/cosθ. 4.tanθ=1/tan(90o-θ). 5.sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2) 6.cosθ=1-2sin2(θ/2) 7.sin(θ/2)=±√½(1-cosθ) 8.cos(θ/2)=±√½(1+cosθ) 9.tan(θ/2)=±√(1-cosθ)/(1+cosθ) =1-cosθ/sinθ =sinθ/(1+cosθ). 10.(sinx)(cosy)=½[sin(x+y)+sin(x-y)] 11.(cosx)(siny)=½[sin(x+y)-sin(x-y)] 12.(cosx)(cosy)=½[cos(x+y)+cos(x-y)] 13.(sinx)(siny)=-½[cos(x+y)-cos(x-y)]. 14.sina+sinb=2sin[½(a+b)]cos[½(a-b)] 15.sina-sinb=2cos[½(a+b)]sin[½(a-b)] 16.cosa+cosb=2cos[½(a+b)]cos[½(a-b)] 17.cosa-cosb=-2sin[½(a+b)]sin[½(a-b)]. 18.sin2A=2sinAcosA 19.cos2A=cos2A-sin2A 20.tan2A=2tanA/(1-tan2A). 21.sin3A=3sinA-4sin3A 22.cos3A=4cos3-3cosA 23.tan3A=(3tanA-tan3A)/(1-3tan2A). 24.sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 25.sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB 26.cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB 27.cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 28.tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 29.tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB). 30.sin(A+B+C)=sinAcosBcosC+cosAsinBcosC+cosAcosBsinC-sinAsinBsinC 31.cos(A+B+C)=cosAcosBcosC-cosAsinBsinC-sinAcosBsinC-sinAsinBcosC 32.tan(A+B+C)=(tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC)/(1-tanAtanB-tanBtanC-tanAtanC) \. 33.sin(A+B)sin(A-B)=sin2A-sin2B 34.cos(A+B)cos(A-B)=cos2A-sin2B=cos2B-sin2A 35.[sin(A+B)]/[sin(A-B)]=(tanA+tanB)/(tanA-tanB). Subtopic.