Antiderivada
Su propiedad fundamental es que si F(x) es antiderivada de f(x) entonces todas las antiderivadas de f(x) son del la forma G(x)=F(x)+C, con C una constante
Tenemos que la derivada de x^3 es 3x^2 pero la derivada de x^3 + 5 también es 3x^2 por lo tanto G(x)= x^3 + C representa la antiderivada mas general de 3x^2
La familia de antiderivadas de una función f(x) se denomina INTEGRAL IMPROPIA de f(x) y se denomina como:∫f(x)dx=F(x)+C
Tenemos que
∫x^2dx=2x+C
Igualmente
∫3x^2dx = x^3+c
Aplicación a la economia
Un Productor determina que los ingresos marginales de cierto producto se modela como x^2+20x+10 por unidad cuando se producen x unidades. Ademas el ingreso por las 3 primeras unidades es de 500 $ ¿ Cual seria el ingreso total?
I(x)=∫I´(x)dx=∫(x^2+20x+10)dx =∫x^2dx+20∫xdx+10∫dx = x^3/3+10x^2+10x + C
por lo tanto I(x)= x^3/3 +10x^2 +10x +C
aun no tenemos a I(x) completamente
Entonces
500=I(3)=3^3/3+10(3)^2+10(3)+C
despejando tenemos que C=371
luego I(x)=x^3/3 +10x^2 +10x+371
Reglas Algebraicas
regla del factor constante
∫kf(x)dx= k∫f(x)dx
∫3xdx=3∫xdx=3x^2/2 +C
Regla de la Suma
∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx +∫g(x)dx
∫[x+x^2]dx=∫xdx+∫x^2dx = x^2/2+x^3/3+C
Regla de la diferencia
∫[f(x)-g(x)]dx=∫f(x)dx -∫g(x)dx
la integral se puede separar por el signo -
Reglas para integrar funciones elementales
Regla de la constante
∫kdx=kx+C
∫2dx=2x+C
Regla de la potencia
∫x^ndx=x^(n+1) /n+1
∫x^2dx=x^3 /3 +c
Regla logaritmica
∫1/x dx=lnlxl + C
regla exponencial
∫e^kxdx=e^kx /k +C
Es el proceso inverso a la derivada, es decir para una funcion f(x) puede existir F(x) tal que F´(x)=f(x), siendo F(x) la antiderivada de f(x)
Sabemos que la derivada de x^2 es 2x por lo tanto x^2 es antiderivada de 2x
otro caso es la derivada de e^x que seria e^x por lo tanto ella misma seria su antiderivada