FIGURAS CONICAS

¿Qué son las figuras cónica?

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si aquel plano no pasa por el vértice. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

Tipos

Circunferencia

Es la intersección del cono con un plano paralelo a la base.

Ecuaciones

(x-h)² + (y-k)² =r² donde (h,k) es el centro y r es el radio.

Elipse

Intersección del cono con un plano oblicuo a la base y que no la corta en ningún momento.

Ecuaciones

Parábola

Es la intersección del cono con un plano paralelo a su generatriz y que corta a la base.

Ecuaciones

(y-k)² =4p (x-h); p ≠ 0 (horizontal), El vértice es ( h, k ).
El foco es ( h + p, k ).
La directriz es la recta x = h – p.
El eje es la recta y = k.

(x-h)² =4p (y-k); p ≠ 0 (Vertical), El vértice es ( h, k ).
El foco es ( h, k + p ).
La directriz es la recta y = k – p .
El eje es la recta x = h.

Hipérbola

Es la intersección de un cono recto y un plano cuyo ángulo es menor al de la generatriz del cono.

Ecuaciones

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Historia de las figuras cónicas

El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.

Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definir. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Además si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira.

En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y.

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Características

Circunferencia

- Es la línea cerrada más simétrica que existe. Tiene infinitos ejes de simetría. - Está muy relacionada con otros tipos de líneas - curvas específicas: elipse, óvalo, ovoide,
parábola, hipérbola, espiral, ondas (onduladas), hélices (helicoidales), etc.
- La circunferencia, o línea curva cerrada que forma su contorno, mide algo más del triple que su diámetro. pi (π), y tiene siempre el mismo valor, aunque tiene infinitas cifras decimales. Normalmente se usa el valor aproximado: π = 3,1416

Parábola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.

Además del foco (F) y de la directriz de una parábola, se destacan los siguientes elementos:

Eje, e

Vértice, V

Distancia de F a d = p

Hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.

Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola se destacan los siguientes elementos:

- Centro, O

- Vértices, A y A

- Distancia entre los vértices

- Distancia entre los focos

Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.

Además de los focos F y F′ con coordenadas (c;0) y (-c;0) si se encuentran sobre el eje de las abcisas respectivamente y (0;c) y (0;-c) si estos focos se encuentran sobre el eje de las ordenadas (ejes de las y) respectivamente. En una elipse se destacan los siguientes elementos:

- Centro, O
- Eje mayor, AA′ (conocido también como eje transverso)
- Eje menor, BB′ (llamado eje conjugado)
- Distancia focal, OF

Aplicaciones

Son importantes en astronomía: ya que son dos cuerpos masivos que está interactúando según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.

También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

Elementos

Circunferencia

Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia.

Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia.
Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia.

Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia.

Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia.

Recta tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un radio.

Elipse

1) Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría.
2) Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría.
3) Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatríz del segmento que une los focos.
4) Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes.
5) Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c.
6) Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c.
7) Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a.
8) Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. 9) Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y) se cumple que d(P , F) = a -e·x y d(P, F') = a+e·x

Parábola

Foco: el foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz.

Directriz: Es la recta fija D. Los puntos de la parábola equidistan de la directriz y el foco.
Radio vector: es el segmento R que une el foco con cada uno de los puntos de la parábola. Es igual al segmento perpendicular a la directriz desde el punto correspondiente.

Eje: es la recta E perpendicular a la directriz que pasa por el foco y el vértice. Es el eje de simetría de la parábola. Parámetro: p, es la distancia entre el foco y el punto más próximo de la directriz. Algunos autores llaman parámetro a la distancia entre foco y vértice.

Vértice: es el punto V de la intersección del eje y la parábola.

Distancia focal: distancia entre el foco F y el vértice V. Es igual a p/2.

Puntos interiores y exteriores: la parábola divide el plano en dos regiones. Los puntos que están en la región del foco se llaman puntos interiores (I), mientras que los otros son los exteriores (J).

Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la parábola.

Cuerda focal: una cuerda que pasa por el foco F.

Lado recto: Cuerda focal paralela a la directriz D y, por tanto, perpendicular al eje E. Su longitud es dos veces el módulo del parámetro (2p, pues se ven en la figura dos cuadrados unidos iguales de lado p).

Se debe recordar que entre foco, vértice y directriz, el vértice V está siempre en el centro. El orden es F – V – D o D – V – F.

Hipérbola

1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
7. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.
8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.
9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

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