Дружественные числа

Большой вклад в отыскание дружественных чисел внес ученый Л. Эйлер, который в 1747-1750 гг. указал сразу 59 пар дружественных чисел. Среди которых были и нечетные числа, например, 9773505 и 11791935. Он предложил пять способов отыскания дружественных чисел. Эйлер получил утверждение, очень похожее на правило Сабита, но более общее. Правда, с помощью своего обобщения он не смог найти новые дружественные числа, так как в то время необходимые ему таблицы простых чисел были составлены только до 100 000.Эйлер искал дружественные числа и совершенно иного вида, чем его предшественники, в частности нечетные. Среди его «трофеев» оказались и пары нечетных дружественных чисел видаа · p · q   и  а · rгде р, q, r – простые числа. Например:(32 · 7 · 13) · 5 · 17  и  (32 · 7 · 13) · 107;(34 · 5 · 11) · 29 · 89  и  (34 · 5 · 11) · 2699.

 Пифагор Самосский (570 - 490 г.г. до н.э.) - древнегреческий философ, математик, мистик.Пифагор нашел первую пару дружественных чисел (220; 284)

Арабский математик Абу-Хасан Сабит ибн Курра ибн Марван аль-Харрани (836-901).Примерно в 850 году указал один из способов нахождения дружественных чисел.

Найденный Сабитом способ получения дружественных чисел звучит на современном языке так:Если для натурального числа n > 1 все три числа:p = 3 · 2n – 1 – 1,q = 3 · 2n – 1,r = 9 · 22n – 1 – 1,являются простыми, то числа 2n · pq и 2n · r образуют пару дружественных чисел.

Рене Декарт (1596-1650) - французский математик, философ, физик.В 1638 году открыл пару дружественных чисел - (9363584; 9437056)

Ибн Аль-Банна (1256–1321) - марокканский ученый.Около 1300 г. ученый открыл вторую пару – не по величине, а по календарному времени – дружественных чисел: 17 296  и  18 416Уже в ХХ веке в одном из трактатов этого арабского ученого были обнаружены следующие строки: "Числа 17 296 и 18 416 являются дружественными; одно из них избыточно, другое недостаточно. Аллах всеведущ."

Пафнутий Львович Чебышёв (1821 - 1894) - российский математик и механик.Используя метод Эйлера Чебышёв нашел новую пару дружественных чисел.

Пафнутия Львовича Чебышёва очень увлекала преподавательская деятельность. Он организовал школу русских математиков, выпускники которой стали известными математиками.Учёные продолжили работы П.Л.Чебышёва в области дружественных чисел.

Пьер де Ферма (1601-1665) - французский математик.В 1636 году открыл пару дружественных чисел - (17296; 18416)

Адриен Мари Лежандр (1752 - 1833) - французский математик.Используя метод Эйлера Лежандр нашел новую пару дружественных чисел.

16-летний Никколо Паганини (итальянский школьник) в 1866 г. обнаружил второю по величине пару дружественных чисел (1184; 1210), которую "проглядели" все великие математики.

Бельгийский математик Поль Пуле открыл 62 новые пары к 1948 г. Пуле первый побил рекорд Леонардо Эйлера.

Американский ученый Элвин Дж.Ли нашел 300 пар дружественных чисел за период с 1968 по 1972 годы, при помощи ЭВМ.

Все пары дружественных чисел, меньших 100 000.220 и 284 (Пифагор, около 500 дон. э.)1184 и 1210 (Паганини, 1866)2620 и 2924 (Эйлер, 1747)5020 и 5564 (Эйлер, 1747)6232 и 6368 (Эйлер, 1750)10744 и 10856 (Эйлер, 1747)12285 и 14595 (Браун, 1939)17296 и 18416 (Ибн ал-Банна, около 1300, Фариси, около 1300, Ферма, Пьер, 1636)63020 и 76084 (Эйлер, 1747)66928 и 66992 (Эйлер, 1750)67095 и 71145 (Эйлер, 1747)69615 и 87633 (Эйлер, 1747)79750 и 88730 (Рольф (Rolf), 1964)

30 января 2017 года запущен проект распределённых вычислений на платформе BOINC — Amicable Numbers. Поиск дружественных чисел осуществляется как с помощью расчётов на процессоре так и на видеокарте.

Если для натурального числа  все три числа:,,,являются простыми, то числа  и  образуют пару дружественных чисел.Эта формула даёт пары (220, 284), (17 296, 18 416) и (9 363 584, 9 437 056) соответственно для , но больше никаких пар дружественных чисел, которые могли бы быть получены по этой формуле для  не существует. Кроме того, многие пары дружественных чисел, например, (6232, 6368), не могут быть получены по этой формуле.

Если для пары дружественных чисел вида и  числа  и  являются простыми, причём  не делится на , то при всех тех натуральных , при которых оба числа  и просты, числа  и  — дружественные.