La curva y alargada "∫" denotan la
anti derivación. Este símbolo se conoce
como Integral de…
¿Cómo expresar la operación?
A continuación del símbolo "∫" se coloca entre paréntesis si se compone de más de un termino la función seguida por la diferenciación de la variable con respecto a la variable que se va a realizar la anti-derivación
Ejemplo:
F(x) = 3X2
Entonces la integral se expresará de la siguiente manera:
∫F(x)dx
Para encontrar una anti derivada que unifique todas las posibles soluciones de la integral se suma al final de la expresión una "K", la cual representa todas las posibles constantes que acompañan a diferentes funciones, representando así una generalización para diferentes familias de funciones retomando el ejemplo anterior:
∫3X2 dx = X3+K
Esta función general incluye el primer ejemplo de la función.
El cálculo integral es una operación inversa a la
derivada, también llamada "anti derivada".
Consiste en pasar una expresión ya derivada a su forma sin
derivar
Ejemplo:
F(x)= 4x2 dx = 8x
De la derivada dx=8x para regresar a la
función original se utilizamos el método de integración o
anti derivación:
∫8x dx = 4x2 + K
Directa
Para los casos en donde se encuentran expresiones
simples de integrar se realiza de manera directa por medio de la siguiente fórmula teniendo en cuenta las propiedades de la integración.
Ejemplo:
∫8X3 dx = 2X4+K
Mediante manipulación aritmética En casos más complejos en los cuales se puedan usar trucos aritméticos para simplificar el proceso de integración, se realizan los procesos algebraicos necesarios para facilitar el desarrollo del ejercicio.
Ejemplo:
∫(4X + 2)2 dx = ∫(16X2 + 16X + 4)dx = (16/3)X3 + 8X2 + 4X + K
Para esta función se resolvió el binomio cuadrado para dejar la expresión en términos de suma y simplificar el proceso de integración.
Mediante el uso de identidades trigonométricas
No es de fácil procedimiento resolver las funciones al omento de integrar, pero es de importancia tener presente las identidades trigonométricas para transformar la función en una que sea más sencilla de integrar Identidades:
sin2X + cos2X = 1
sin2X = (1 - cos2X) / 2
cos2X = (1 + cos2X / 2
Ejemplo:
∫(sin/cscx + cosx/secx) dx = ∫(sinx / (1/sinx) + cosx / (1/cosx))dx =
∫(sin2x + cos2x) dx = ∫1 dx = x+k
Sustitución
Existen casos en los que mediante ninguna de las
formas mencionadas anteriormente se logra llegar
a una expresión simplificada para poder integrar
fácilmente. En estos casos se puede usar la sustitución
como método de solución. Este consiste en tomar una
parte de la función y darle otra variable para simplificar
la expresión, resolverla, y volver a reemplazar por el
valor original una vez llegada a una respuesta.
Ejemplo:
∫(sinx cosx)dx
u=sinx
du=cosx dx
∫udu = u2/2 + k
Reemplazar variable
∫(sinx cosx)dx
sin2x / 2 + k
SUMA
Cuando se encuentra la suma de un polinomio a integrar, se saca la integral independiente de cada una de las variables.
Ejemplo:
∫(4x^3 + 5x^2 + 10)dx =
(4x^3)dx + ∫(5x^2)dx + ∫10 dx =
x^4 + (5/3)x^3 + 10x + k
Constantes que acompañan la función
Cuando una constante multiplica la función a integrar, esta sale de la integración y multiplicar al resultado de esta
Ejemplo:
∫(5X4dx =
5∫X4dx =
5(X5 / 5) + k =X5 + k
∫Xn dn = (X(n+1) / (n+1)) + k
NO HAY PROPIEDADES que muestren un proceso específico para la multiplicación y la división como lo había en la diferenciación, en estos casos se deben optar por uno de los métodos de integración expuestos con anterioridad.
Al integrar se busca la anti derivada, por lo que:
∫(1/x)dx = ln|x| + k
∫(cosx dx = sinx + k
∫(sinx dx = -cosx + k
∫(sec2xdx = tanx + k
∫(csc2x dx = -cotx + k
∫(secx tanx dx = secx + k
∫(cscx cotx dx = -cscx + k
∫(ex dx = ex + k
∫ax dx = (ax / lna ) + k
∫|x| dx= |x| =
-x si x<0
x si x≥0
∫-x dx = -x²/2 + k si x<0
∫x dx = x²/2 + k si x≥0