Transformaciones y Distribuciones Muestrales

Primer Teorema

Se tiene función de densidad de X fX(x)

φ:(a,b) una función continua, creciente o
decreciente y con inversa diferenciable

Y=φ(x) dentro de φ(a,b)

La función de densidad de Y es:

fY(y)=fX(φ-1(y))|(φ-1(y))'|

Segundo Teorema

X∈(a,c) con función de densidad fX(x)

Y=φ(x)={

φ1(x), x∈(a,b)

Ambas funciones continuas, crecientes o
decrecientes y con inversas diferenciables,
a<b<c

La función de densidad de Y es:

fY(y)=fX(φ1-1(y))|(φ1-1(y))'|+fX(φ2-1(y))|(φ2-1(y))'|

φ2(x), x∈(b,c)

Tercer Teorema

(X,Y) vector continuo en los reales

Función de densidad del vector (X,Y)
es fX,Y(x,y)

(U,V)=φ(x,y) dentro de φ(I)

Función de densidad del vector (U.V)

fU,V(u,v)=fX,Y(φ1-1(u,v),φ2-1(u,v))|J(u,v)|, (u,v)∈φ(I)

Pasos para aplicarlo

1. Identificar fX,Y(x,y) y su dominio

2. Identificar la transformación

φ(x,y)=(U,V)

U=φ1(x,y)

V=φ2(x,y)

3. Obtener las funciones inversas y calcular el Jacobiano

X=φ1-1(u,v)

Y=φ2-1(u,v)

4. Determinar fU,V(u,v)

5. Determinar el dominio de (U,V)

Vectores de Transformación

Distribución de la suma

X1,X2,...,Xn∼N(μ,σ2)

fXY(u)=∫fX,Y(u-v,v) definida en u

Distribución de la resta

X1-X2∼N(μ1-μ2,σ12+σ22)

fXY(u)=∫fX,Y(u+v,v) definida en u

Distribución del producto

fXY(u)=∫fX,Y(u/v,v)|1/v|dv definida en u

Distribución del cociente

fX/Y(u)=∫fX,Y(uv,v)|v|dv definida en u

Colección de variables aleatorias, todas ellas
independientes e idénticamente distribuidas

Esperanza

Varianza

VAR(s2)=2σ4/(n-1)

Esperanza

Varianza

La varianza de x barra toma el valor de σ2/n1/2

Si X∼N(0,1)

X2∼x2(1)

Si X1, X2, ..., Xn son iid, con Xi∼x2(ni)
para i=1, 2, ..., m

∑Xi∼x2(n1+...+nm)
sumando desde i=1 hasta n

Si X1, X2, ..., Xn son iid, con Xi∼N(μ,σ2)

∑(Xi-μ)2/σ2∼x2(n)
sumando desde i=1 hasta n

∑Xi2(1)∼x2(n)
sumando desde i=1 hasta n

X y Y independientes, con X∼x2(n),
X+Y∼x2(m)

Y∼x2(m-n)

Sean X1,...,Xn iid, Xi∼N(μ,σ2)

s2(n-1)/σ2∼x2(n-1)

Cualquier función que depende de las variables X1, X2, ..., Xn

Media muestral

Varianza muestral

Rango

R=X(n)-X(1), donde n es el tamaño de la muestra

Mediana

Fórmula para n impar:
Me=X((n+1)/2)

Fórmula para n par
Me=[X(n/2)+X((n+1)/2)]/2