Logaritmo

Propriedades dos Logaritmos

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Os logaritmos possuem diversas propriedades que nos permitem simplificar cálculos e resolver problemas de maneira mais eficiente. Algumas das propriedades mais importantes são: 1. Produto: log(a * b) = log(a) + log(b) 2. Quociente: log(a / b) = log(a) - log(b) 3. Potência: log(a^b) = b * log(a) 4. Mudança de base: log(a) = log(b) / log(c), onde b é a base do logaritmo a e c é a base desejada. Essas propriedades nos permitem transformar operações de multiplicação, divisão e potenciação em operações mais simples, utilizando logaritmos. Isso pode ser muito útil em problemas que envolvem números grandes ou cálculos complexos.

Logaritmo de um quociente

é igual a diferença dos logaritmos:

loga (b/c) = logab - logac

Logaritmo de uma potência

é igual ao produto dessa potência pelo logaritmo:

logabm= m * logab

Mudança de base

Podemos mudar a base de um logaritmo usando a seguinte relação:

logbc = logac / logab

Base elevada a uma potência

loganb = 1/n * logab

Logaritmo de um produto

é igual a soma de seus logaritmos:

loga (b*c) = logab + logac

Logaritmo de uma raiz

" igual ao inverso do índice da raiz multiplicado pelo logaritmo, em que também mantemos a base."


Conceitos iniciais

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O logaritmo é uma função matemática utilizada para resolver equações exponenciais. Ele representa o expoente ao qual uma base específica deve ser elevada para obter um determinado número. Alguns conceitos iniciais incluem a definição de logaritmo, propriedades dos logaritmos, mudança de base e resolução de equações logarítmicas.

EI = Eleva e Iguala

*log381 = x ⇔ 3x = 81

*Fatoração 81 = 3⁴

*Substitui o 81 por sua forma fatorada,
na equação anterior

*log91 = 0
*log61 = 0

O logaritmo de qualquer base, cujo logaritmando seja igual a 1, o resultado será igual a 0

Quando o logaritmando
é igual a base, o logaritmo
será igual a 1.

log55 = 1
logaa = 1

Quando o logaritmo de a na base a possui uma potência m, ele será igual ao expoente m, ou seja logaam = m.

Quando dois logaritmos com a mesma base são iguais, os logaritmandos também serão iguais,ou seja, logab = logac ⇔ b = c.

A potência de base a e expoente logab será igual a b, ou seja
alogab= b

Considere dois números reais positivos a e b, com a ≠ 0. O logaritmo de b na base a é o número x se, e somente se, a elevado a x for igual ao número b.

Algumas aplicações
e usos

Ciências Naturais

Escalas logarítmicas: Usadas quando os valores variam em ordens de grandeza, como:

pH (química): mede a acidez de uma solução.

Escala Richter (geologia): mede a intensidade de terremotos.

Decibéis (dB) (física): mede intensidade sonora.


Crescimento populacional ou radioativo: Modelado por funções exponenciais e logarítmicas.

Computação


Algoritmos: Muitos algoritmos têm complexidade logarítmica, como a busca binária (O(log n)).

Compressão e codificação de dados: Logaritmos são usados na teoria da informação (como no cálculo de entropia de Shannon).

Economia e Finanças

Crescimento composto: Juros compostos envolvem funções exponenciais, e os logaritmos ajudam a calcular o tempo necessário para dobrar um investimento.

Elasticidade e escalas de retorno: Modelos econômicos usam logaritmos para tratar relações não-lineares.

Engenharia

Circuitos elétricos: Análise de sinais, ganho em amplificadores (em dB).

Controle automático e sistemas dinâmicos: Modelos logarítmicos são usados para ajustar respostas.

Estatística e Data Science

Como resolver um logaritmo

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Existem aqueles logaritmos possíveis de resolver-se de forma direta, apenas com a definição, como fizemos no exemplo anterior. No entanto, resolver logaritmos também exige domínio de equações exponencias, além disso, quando for necessário, deve-se realizar a consulta da tabela de logaritmos decimais para saber o valor de logaritmos que não conseguimos calcular com base em uma equação exponencial.

1º passo: aplicar a definição para transformar o logaritmo em uma equação exponencial

2º passo: igualar as bases quando possível.

3x = 35 → x = 5


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EI e o peteleco

EI - eleva e iguala

EI - eleva e iguala

Peteleco - sempre igualar a base e o logaritmando. 1º Fatore o logaritmando 2º Ira surgir um expoente no logaritmando 3º Est

Peteleco - sempre igualar a base e o logaritmando.
1º Fatore o logaritmando
2º Ira surgir um expoente no logaritmando
3º Este expoente deverá ir para trás do log multiplicando

Calcule o logaritmo a seguir.


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vamos aplicar a definição e tentar igualar as bases.