MATH'S PROGRAM

GONIOMETRIA

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La goniometria studia la misurazione degli angoli mettendoli in relazione con gli archi corrispondenti.

gli angoli e le loro misure

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Per introdurre la goniometria e soprattutto le funzioni goniometriche è necessario rivedere i concetti di angolo e misura di un angolo.

angolo

r

consideriamo in un piano due semirette aventi la stessa origine. Si chiama angolo la figura costituita dalle due semirette e da una delle due parti in cui il piano è diviso dalle semirette stesse.L'origine delle due semirette è detta vertice dell'angolo, e le due semirette si dicono lati dell'angolo.

angoli in radianti

angoli orientati

angoli associati

anche detti archi associati

tabella:)

tabella:)

misura di un angolo in radianti

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COS'E' UN RADIANTE?Il radiante è l'unità di misura prevista dal Sistema Internazionale (SI). Data una circonferenza, il radiante è l'ampiezza di un angolo sotteso da un arco di lunghezza pari al raggio. Il simbolo del radiante è rad. Un angolo giro viene misurato con il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo raggio R cioè Analogamente l'ampiezza dell'angolo piatto è π rad, mentre quella dell'angolo retto è π/2 rad. Oltre al radiante, nei diversi settori scientifici sono impiegate anche le seguenti unità di misura.clicca sul link affianco questa nota per vedere come calcolare la misura degli angoli in radiante :)

le funzioni goniometriche

circonferenza goniometrica

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L'asse y è l'origine degli angoli orientati, il cui verso positivo è quello orario; il punto A sull'asse y è origine degli archi. A ogni arco della circonferenza è associato un angolo e viceversa (corrispondenza biunivoca); in figura ad α corrisponde AB. È quindi indifferente parlare di angoli oppure di archi orientati. Con precise relazioni agli angoli sono associati altri elementi: le funzioni goniometriche.clicca affianco per osservare il grafico della circonferenza goniometrica:)

a

La circonferenza goniometrica è una circonferenza di
raggio unitario (R = 1) con centro nell'origine degli assi
cartesiani x e y.

:)

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funzioni seno e coseno

r

A un angolo α è associato l'arco AB e quindi il punto B, le cui coordinate hanno come valori le lunghezze dei segmenti BC e OC; dunque queste due lunghezze sono funzione dell'angolo α.Si chiama seno il rapporto tra BC e OB. Il coseno è il rapporto tra OC e OB. (guarda foto allegata affianco)La funzione seno dell'angolo α è indicata con sen α, mentre cos α indica il coseno. OB nella circonferenza goniometrica ha valore 1 e quindi le funzioni seno e coseno hanno valore rispettivamente pari a BC e OC, cioè le coordinate cartesiane del punto B, ovvero:sen α = BC/OB = BC/1 = Xbcos α = OC/OB = OC/1= Yb

seno di α l'ordinata di P

VARIAZIONE DELLE FUNZIONI SENO E COSENO

coseno di α l'ascissa di P

funzioni tangente e cotangente

tanα= sinα/cosα

l'ascissa del punto d'intersezione tra la tangente geometrica alla circonferenza goniometrica nel punto di origine degli angoli eil lato terminale dell'angolo stesso

cotgα = cosα/sinα

è l'ordinata del punto d'intersezione tra la tangente geometrica alla circonferenza goniometrica nell'estremo del primo quadrante e il lato terminale dell'angolo stesso

proprietà delle funzioni goniometriche

prima relazione fondamentale della goniometria

sin^2α+cos^2α=1

è una relazione che lega il seno e il coseno di uno stesso angolo. In base ad essa sappiamo che la SOMMA dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo sono sempre UGUALI all'UNITA'.

dimostrazione

seconda relazione fondamentale della goniometria

tanα=sinα/cosα

mette in relazione le funzioni tangente, seno e coseno

dimostrazione

grafici

y=sinx

r

la funzione è definita per ogni valore reale di x, quindi il suo dominio è R; è periodica di periodo 2pigreco.inoltre intrinseca l'asse x in infiniti punti, di ascissa x=kpigreco, la funzione ha quindi infiniti zeri.il grafico della funzione y=sinx è simmetrico rispetto all'origine, quindi la funzione è dispari.

a

y=cosx

r

è definita per ogni valore reale di x, quindi il suo dominio è R, è periodica di periodo 2pigreco.intrinseca l'asse x in infiniti punti di ascissa x=pigreco/2+kpigreco, ha infiniti zeri.la funzione è pari.è limitata

a

y=tanx

r

la funzione è definita per ogni x≠pigreco/2+kpigreco, dunque il suo dominio è R-{pigreco/2+kpigreco}, è una funzione perdica di periodo pigreco.ha infiniti zeripresenta asintoni verticaliè disparinon è una funzione limitata

a

equazioni goniometriche

elementari

solo con una funzione goniometrica di I grado

sinx=1/2

riconducibili ad elementari

non sembrano elementari ma sono facilmente riconducibili a esse

sin(hx)=m

di secondo grado

con una o più funzioni goniometriche al quadrato

sin²(x)+bsin(x)cos(x)+ccos²(x)=0

lineari

sin e cos entrambi non elevati a potenza

ax+by+c=0

in seno e coseno

per risolverle si può utilizzare o il metodo geometrico o algebrico

formule goniometriche

addizione o sottrazione

ci consentono di esprimere il sin e cos della somma o differenza di due angoli in funzione del sin e cos, dei singoli angoli coinvolti

duplicazione

si ricavano dalle precedenti ponendo α=β

bisezione

si ricava dalla formula di duplicazione del coseno sostituendo α= α/2

clicca sul link affianco per visualizzare le varie formule in un unico schema :)→

a

parametriche

esprimono sin e cos in funzione di un parametro definito dalla tangente

werner (prodotto-somma)

si ricavano sommando membro a membro le formule di addizione

prostaferesi (somma-prodotto)

si ricavano da quelle di werner con qualche sostituzione

disequazioni

disequazioni goniometriche elementari o a esse riconducibili

disequazioni goniometriche elementari

del tipo sin x>m, con m>0

sinx≥m, con m<0

possono essere risolte utilizzando due metodi

utilizzando la circonferenza goniometrica

utilizzando il grafico y=sinx

cosx<m

tanx≤m

riconducibili a goniometriche elementari

mediante sostituzione

riconducibili a disequazione di secondo grado in coseno

frazionarie e prodotto

f(x)/g(x)>0

lineari in seno e coseno

asinx + bcosx + c >0

omogenee di secondo grado in seno e coseno

asin^2x + bsinx cosx + ccos?2x>0

TRIGONOMETRIA

La trigonometria studia i rapporti tra le misure degli
angoli e la lunghezza dei lati di un triangolo. Essa confronta le lunghezze dei lati di triangoli rettangoli simili (che hanno la stessa forma ma misure diverse) per trovare la misura degli angoli e dei lati non noti.

teoremi sui triangoli rettangoli

primo teorema

in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto al cateto, o moltiplicata per il coseno dell'angolo acuto adiacente al cateto.

b=αsinβ oppure b=αcosγ

c=αcosβ oppure c=αsinβ

visualizza la figura per capire meglio!

visualizza la figura per capire meglio!

secondo teorema

in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell'altro cateto moltiplicata per la tangente dell'angolo opposto al primo cateto, o moltiplicata per la cotangente dell'angolo acuto adiacente al primo cateto.

b= ctanβ oppure b=ccotγ

c=btanγ oppure c=bcotβ

teoremi triangoli

teorema dell'area

L’area di un triangolo qualsiasi è uguale al semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell’angolo fra essi compreso.

A=1/2ab x sinα

teorema della corda

In una circonferenza la misura di una corda è uguale al prodotto della misura del diametro per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda.

AB=2r sinα

AB=2r sin (180-α)

a

teorema dei seni

In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell’angolo opposto

a/sinα = b/sinβ =c/sinγ

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teorema del coseno

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RICORDA! Questo teorema è anche detto teorema di Carnot.Il teorema di Carnot generalizza il Teorema di Pitagora, a cui si riduce se si considera un triangolo rettangolo.

In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell’angolo fra essi compreso

a²= b² + c² - 2bc cosα

b²= a² + c² - 2ac cosβ

c²= a²+ b² - 2ab cosγ

risoluzione di un triangolo qualsiasi

sono noti un lato del triangolo e i due angoli adiacenti

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In questo caso si puo` determinare il terzo angolo del triangolo per differenza, ricordando che la somma delle ampiezze degli angoli interni di un triangolo è sempre 180; si possono determinare poi le misure degli altri due lati applicando il teorema dei seni. Il problema di determinare un triangolo noti un lato e i due angoli adiacenti ammette sempre una unica soluzione, in virtu del secondo criterio di congruenza dei triangoli.

sono noti due lati del triangolo e l'angolo compreso fra di essi

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In questo caso, grazie al teorema del coseno, possiamo determinare prima la misura del terzo lato del triangolo e poi le misure degli altri angoli.Il problema di determinare un triangolo di cui sono dati due lati e l’angolo compreso ammette sempre una unica soluzione in virtù del primo criterio di congruenza dei triangoli.

video per capire meglio :)

sono noti i tre lati del triangolo

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Le misure dei tre angoli del triangolo si possono ricavare applicando il teorema del coseno. Il problema di determinare gli angoli di un triangolo di cui sono assegnate le misure a, b, c dei lati ammette soluzione se e solo se le misure dei lati soddisfano le disuguaglianze triangolari:a<b+c b<a+cc<a+bin tal caso la soluzione è unica in virtù del terzo criterio di congruenza dei triangoli.

sono noti due lati del triangolo e un angolo non compreso tra di essi

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Questo caso richiede particolare attenzione, poiché il problema di costruire un triangolo di cui sono assegnati due lati e un angolo non compreso fra di essi può non ammettere soluzioni, ammettere una sola soluzione o ammettere due soluzioni distinte. Per renderci conto di ciò, proviamo a costruire geometricamente un triangolo di cui siano assegnate le misure a e b di due lati e l’angolo α.A tale scopo, consideriamo due semirette r e s di origine A che formano un angolo α e fissiamo sulla semiretta s il punto C distante b da A.Il vertice B di un triangolo che soddisfa le condizioni date deve essere un punto di intersezione della semiretta r con la circonferenza di centro C e raggio a.

LOGARITMI

ESPONENZIALI