Дружественные числа

Существуют ли взаимно-простые дружественные числа?

 Конечно или бесконечно множество пар дружественных чисел?

Есть ли пары, в которых одно число четное, а другое - нечетное?

Существует ли общая формула, позволяющая описать все пары дружественных чисел?

Источник информации:Е.И. Деза "О содержании элективного курса "Совершенные и дружественные числа"" Журнал "Математика в школе" №9, 2007г.

1. Дружественная четвёркаЕсли (а; b) и (х; у) - дружественные пары и НОД(а, х) = Н ОД( а, у) = НОД(b, х) = НОД(b, у) = 1, то (ax;ay;bx;by)- дружественная четвёрка.Пример:  (842448600; 936343800; 999426600; 111 0817800). 2. Дружественная тройкаДружественной тройкой называется тройка (l,m,n) такая, что s(l) = m + n, s(m) = 1 + n, s(n) = l + m, где s(n) = σ (n) - n.Пример: (123228768; 103340640; 124015008)  (1945330728960; 2324196638720; 26 15631953920).3. Одинокие числаЧисла, имеющие друзей, называются дружелюбными, а числа, не имеющие друзей - одинокими.Одинокими числами являются простые числа, степени простых чисел и числа n, для которых выполнено условие НОД(σ (n), n) = 1 .Пример: 1,2,3,4,5,7,8.9,11,13,16,17,19,21.4. Почти дружественныеПочти дружественной парой называют пару чисел (m, n) такую, что σ (n) = σ (m) =m + n - 1. Известно 11 таких пар. 5. Квазидружественные числа.Два числа m и n называются квазидружественными, если σ (m) = σ (n) = m + n + 1.Пример: (48; 75), (140; 195), (1050; 1 575), (1648; 1925).6. Социальные числаСоциальные числа - натуральные числа, являющиеся обобщением совершенных и дружественных чисел. Набор чисел называется социальным, последовательность натуральных чисел, каждый из элементов которой является суммой собственных делителей предыдущего элемента, которая является циклической, периодически возвращаясь к своему первому члену.Пример: 12496, 14316,1264460, 2115324,2784580,4938136…..Источник информации:Е.И. Деза "О содержании элективного курса "Совершенные и дружественные числа"" Журнал "Математика в школе" №9, 2007г.

Пифагор Самосский (570 - 490 г.г. до н.э.) - древнегреческий математик и философ. Предполагается, что именно пифагорейцы первыми внимание на дружественные числа. Пифагор нашел первую пару дружественных чисел (220; 284).

Сабит ибн Корра – арабский математик, астроном, врач, живший с 836 по 901 г. В работе «Макала фи истихрадж аль-адад аль-мутахабба» («Об определении дружественных чисел») описал построение дружественных чисел. При k = 2 по рецепту Сабита ибн Курры получаются дружественные числа 220 и 284, при k = 4 – пара дружественных чисел 17296 и 18416, а при k = 7 – дружественные числа 9363584 и 9437056. Дальнейшие попытки найти этим способом дружественные пары, перебирая значения k от 8 до 20000, к успеху не приводят.

Пьер де Ферма (1601-1665) - французский математик-самоучка. Переоткрыл правило Сабита в 1636 году, отыскал пару дружественных чисел (17296; 18416). Оказалось, что она была известна за три с половиной столетия арабским математикам.

Рене Декарт (1596-1650) – французский математик, физик, физиолог и механик. Переоткрыл правило Сабит ибн Кора в 1638 году и нашёл дружественную пару (9363584;9437056).

Адриен Мари Лежандр (1752 - 1833) - французский математик. Используя новые критерии простоты чисел и теорему Евклида, в 1730 году обнаружил ещё одну пару чисел.(63020;76084).

Пафнутий Львович Чебышёв (1821–1894) - российский математик и механик, основоположник петербургской математической школы. Используя теорему Эйлера, в 1751 году обнаружил пару дружественных чисел (63020;76084).

Леонард Эйлер (1707-1783 г.г.) - швейцарский, немецкий и российский математик. Он предложил пять способов отыскания дружественных чисел. Обобщил правило Сабита, но не смог найти новые пары дружественных чисел, так как таблицы простых чисел были составлены только до 100 000. Эйлером в период с 1747 года по 1750 год были открыты 59 пар дружественных чисел.

Поль Пуле – бельгийский математик. Первым побил рекорд Эйлера бельгиец Поль Пуле, обнаружив  62 новые пары к 1948 году. Свою монографию Пуле озаглавил так: «La chasse aux nombres» («Охота за числами»).

Эскотт - американский математик. Нашёл 219 новых пар дружественных чисел к 1946 году.

Элвин Дж.Ли – американский математик. Элвин Дж.Ли, используя методом Эйлера, нашёл 390 пар дружественных чисел за период с 1968 по 1972 годы, при помощи ЭВМ.

М. Гарднер живо и увлекательно рассказывает читателю об истории дружественных чисел.Скачать книгу Вы можете по адресу:https://yadi.sk/d/re7ULjEvk5rZOg

Доступное и занимательное изложение некоторых разделов современной теории чисел: дружественные числа, простые числа, пифагоровы числа.Скачать книгу Вы можете по адресу:https://yadi.sk/i/U8GG0rJmIzDrdw

Книга является собранием очерков по истории арифметики. Скачать книгу Вы можете по адресу:https://yadi.sk/i/bwK5PuOVvji1aQ

Современная формулировка правил Сабита:если все три числа:  p = 3*2 n-1 – 1,  q = 3*2 n – 1  и  r = 9*2 2n-1 – 1  -  простые, то числа  A=2n pq и B=2n r  -  дружественные. Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.При n = 2 получается пара чисел, найденная Пифагором. Однако теорема Сабита дает дружественные числа и при других п, например при n = 4 и n = 7. Теорему Сабита независимо друг от друга переоткрыли Ферма в 1636 году. 

Леонард Эйлер в работах «О дружественных числах» и «О сумме делителей» предложил пять способов нахождения дружественных чисел. Правило Эйлера:Если  p = 2 m (2 n-m + 1) – 1,    q = 2 n (2 n-m + 1) – 1   и r = 2 n+m (2 n-m  +  1)2   -  1    -   простые числа, где 1 ≤ m ≤ n – 1, то числа  A = 2n pq   и   B = 2n r - дружественные.(правило Сабита получается из правила Эйлера при n = m + 1).

Вальтер Боро (р. 1945 г.) - немецкий математик. Следуя его правилу из уже известных дружественных чисел можно получить новые, значительно превосходящие исходные по величине: возьмите пару дружественных чисел вида  A = a*u, В=a*s , где s – простое число, а НОД(a;us)=1; проверьте, является ли число p=u+s+1 простым;если да и если не окажется, что а делится на p, то при n=1,2,3…., если оба числа q1 =(u+1)pn-1 и q2=(u+1)(s+1)pn-1 – простые, числа  А pn q1  и apnq2 – дружественные.

Применение ЭВМ для поиска дружественных чисел было применено в конце 70-х годов 20 века. Алгоритм работы программы был основан на использовании правила Эйлера.

В января 2017 года запущен проект распределённых вычислений на платформе BOINC - Amicable Numbers. Поиск дружественных чисел осуществляется как с помощью расчётов на процессоре так и на видеокарте.

Хронология отыскания дружественных чисел, опубликованная Э.Дж.Ли в журнале «Recreational Mathematics»Пифагор, 1 пара, 500 лет до н.э.Ибн аль-Банна, 1 пара, около 1 300г.Декарт, 1 пара, 1638 г.Эйлер, 59 пар, 1747-1750 г.Лежандр/Чебышёв, 1 пара, 1830/1851 г.Паганини, 1 пара, 1866 г.Зеельхофф, 2 пары, 1884 г.Диксон, 2 пары, 1911 г.Мэйсон, 14 пар, 1921 г.Пуле, 108 пар, 1929-1948 г.Жерардэн, 9 пар, 1929-1948 г.Браун, 1 пара, 1939 г.Эскотт, 219 пар, 1946 г.Вульф, 4 пары, 1950 г.Гарсиа, 153 пары, 1957 г.Рольф,Аланен,Стемпл, 9 пар, 1967 г.Боро, 41 пара, 1967-1974 г.Ли, 390 пар, 1968-1972 г.Брэтли. Мак-Кей, 14 пар, 1968 г.Коэн, 62 пары, 1970 г.Девид, 12 пар, 1971-1972 г.Те Риле, 4 пары, 1974 г.Боро, Хоффманн, Небген, Рекков, 25 пар, 1979 г.