También conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal.
Es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
Es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción, etc.
Se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar.
Sistema incompatible; si no tiene ninguna solución.
Sistema compatible; si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado; cuando tiene un número finito de soluciones.
Sistema compatible indeterminado; cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Matrices
Es una disposición rectangular en "m" filas y "n" columnas de números, reales o complejos, denominados elementos o entradas.
Son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.
Se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, y registrar los datos que dependen de varios parámetros.
TIPOS.
Matriz columna; aquella que tiene una sola columna
Matriz fila; aquella que tiene una sola fila
Matriz traspuesta de A; se representa por A^t y es la que se obtiene cambiando las filas y las columnas
Matriz diagonal; tiene nulos todos los términos que no están en la diagonal principal
Matriz nula; aquella cuyos elementos son 0
Notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas.
REGLA DE CRAMER
Fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas.
Aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:
1. El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
2. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
TIPOS
Determinante de orden uno; puede ser tratado
como un escalar, o considerarse una matriz cuadrada de orden uno.
Determinante de orden dos; está formado por 2
elementos en cada fila y 2 elementos en cada columna.
Si una matriz es cuadrada se le puede asignar un
número, al que se llama DETERMINANTE.
Una determinante es cuadrada cuando tienen el mismo número de filas que de columnas.
Es un conjunto de elementos ordenados en renglon o columna.
TIPOS
Vectores equipolentes: son dos vectores que poseen el mismo módulo, dirección y sentido.
Vectores libres: es un grupo de vectores equipolentes. Es decir que comparten módulo, dirección y sentido.
Vectores ligados: son vectores equipolentes, y que además se encuentran en la misma recta.
Vectores unitarios: son los vectores que su módulo es igual a 1.
Vectores opuestos: tienen el mismo módulo, dirección, pero con distinto sentido.
Una transformación lineal es una función.
Tiene
Dominio
Codominio
PROPIEDADES
La imagen del vector nulo del dominio 0V es el vector nulo del codominio 0w:
T(0V) = 0w
La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v:
T(–v) = –T(v)
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío
"V" de objetos, llamados vectores
V es un espacio vectorial real.
OPERACIONES
Suma
Producto por un escalar
PROPIEDADES
0u = 0V
α0V = 0V
(–α)u = –(αu)
αu = 0V ⇒ α = 0∨u = 0V
Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V.
W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.
W no es vacío. La mejor manera de comprobar si W es un subespacio es buscar primero si contiene al vector nulo.