חשבון דיפרנציאלי

חשבון דיפרנציאלי הוא ענף במתמטיקה העוסק בנושא הפונקציה. בענף זה פותחו כלים על מנת למיין פונקציות בעלות אפיונים דומים, לחקור את התנהגותן ולחבר בין הייצוגים השונים שלהן. בענף זה עוסקים בפתרון בעיות מילוליות של ערך קיצון בתחומי הרפואה, החקלאות, הכלכלה והמסחר.

הנגזרת מתארת את קצב ההשתנות של הפונקצייה. למושג הנגזרת יש פירוש גאומטרי. הנגזרת של פונקצייה בנקודה שווה לשיפוע המשיק באותה נקודה. פונקציית הנגזרת היא כלי המאפשר ללמוד את ההתנהגות של הפונקצייה – תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון ועוד תכונות ומאפיינים.

הנגזרת היא אחד הכלים לאפיין התנהגות של פונקציה: לאתר את תחומי העלייה והירידה שלה, לאפיין נקודות קיצון ולאתר את שיפועי המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות שונות. כמו כן ניתן לאתר את תחומי הקמירות והקעירות של הפונקציה

נתונה הפונקציה:f(x)=x3-3xמצאו את נקודות הקיצון שלה וקבעו את סוגן

נגזור את הפונקציה:f ‘(x)=3x2-3נשווה ל-0 ונמצא נקודות קיצון 3x2-3=0 => x2-1=0 -> x2=1 -> x=±1קיבלנו שתי קואורדינאטות X לנקודות הקיצון, 1 ו- 1-, ולכן נציב אותן בעמודות המתאימות בטבלה.כעת נבחר מספרי דגימה לכל תחום:-2 , 0 , 2.נחשב:f‘(-2)=11f‘(0)=-3f‘(2)=11קיבלנו את הסימנים חיובי, שלילי, חיובי, כלומר תחומי עלייה, ירידה, עלייה.נקודת קיצון זו מקבלת עלייה ואז ירידה, ולכן לפי הגדרה היא נקודת מקסימום.נקודת קיצון זו מקבלת ירידה ואז עלייה, ולכן לפי הגדרה היא נקודת מינימום.כעת נחשב את ערכי ה-Xים בפונקציה ונקבל את קואורדינאטות ה-Y שלהן:f(-1)= 2f(1)=-2לכן נקודת המקסימום היא:(-1, 2) ונקודת המינימום היא (1,-2).

עלייה וירידה של פונקציה קשורים בסימן הנגזרת שלה. הפונקציה עולה כאשר הנגזרת חיובית. הפונקציה יורדת כאשר הנגזרת שלילית.

נבדוק את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה: f(x)=x^3/3-2x^2

נגזור: f‘(x)= x^2-4x.. נמצא את נקודות האפס של הנגזרת, ונקבל: x=0,x=4. כעת, נבנה את הטבלה: *ציור*. נבחר מספרי דגימה עבור כל תחום: -2,2,5 ונציב אותם בנגזרת. נקבל: f‘(-2)=12,f‘(2)=-4,f‘(5)=5. לכן, קיבלנו פה חיובי, פה שלילי ופה חיובי, כלומר תחומי: עלייה, ירידה, עלייה. נרשום זאת באופן מסודר: עליה: x<0,x>4, ירידה: 0<4.