Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

LOGARITMICAS

Definición: En matemática el logaritmo de un número es el exponente al cual otro valor fijo, la base, debe llegar para producir este número. Existen dos logaritmos cuya notación es especial: el decimal o de base 10, que se simboliza log10 b = log b; y el natural o de base e = 2,71, que se simboliza logE b = ln b.

Propiedades: 1) LOGa 1 = 0 <-> a0 = 1 ej: LOG3 1 = 0 <-> 3° = 1. 2) LOGa A = 1 <-> A1 = A ej: LOG1/2 1/2 = 1 <-> (1/2)1 = 1/2. 3) LOGa B = C <-> Ac = b -> Alog a b = B ej: 3log 3 9 = 3 2 = 9. 4) LOGa (X.Y) = LOGa X + LOGa Y ^ X > 0 ^ Y > 0 ej: LOG3 (3.9) = LOG3 3 + LOG3 9 --> LOG3 27 = 1 + 2 --> 3 = 3. 5) LOGa X/Y = LOGa X - LOGb Y EJ: LOG5 625/5 = LOG5 625 - LOG5 5 --> LOG5 125 = 4 - 1 --> 3 = 3. 6) LOGa B^n = n.LOGa B ej= LOG2 128 = LOG2 2^7 = 7 LOG2 2 = 7. Si se nos presenta un caso en el que el argumento no es potencia de la base, se debe recurrir a un cambio de base, utilizando logaritmos con bases convenientes o logaritmos decimales o neperianos, los cuales pueden resolverse con la calculadora. 7) LOGa B = LOGc B/LOGc A = LOG B/LOG A = ln b/ln a ej: LOG8 4 = LOG2 4/LOG2 8 = 2/3.

Ejemplo: (aplicando la primera propiedad) LOG3 (X + 2) + LOG3 (X - 4) = 3 LOG3 [(X + 2) . (X - 4)] = 3 3^3 = X^2 - 2X - 8 0 = X^2 - 2X - 8 - 27 0 = X^2 - 2X - 35 2 +-√(-2)^2-4.1.(-35)/2.1 = 2+-√144/2 = 2+-12/2 = x1 7 x2 -5 ---> la respuesta correcta es 7.

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EXPONENCIALES

Definición: Una ecuación es exponencial cuando la incógnita de la misma forma parte de algún exponente. Para resolver una ecuación exponencial se debe aplicar la logaritmación de igual base en ambos miembros o de la siguiente propiedad: Am = An -> m = n ^ a ≠ 0 ^ a ≠ +- 1.

Ejemplo: Para resolver ecuaciones exponenciales más complejas se deben aplicar además las propiedades de la potenciación y logaritmación. 2^x = 3 LOG 2^x = LOG 3 x = LOG 3/LOG 2 x = (apróx.) 1,58.

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