Método de Montecarlo

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Trabajo mecánico

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Bibliografía I. M. Sóbol. Métodos de Montecarlo. Lecciones populares de Matemáticas. Editorial Mir (1976). B. P. Demidowitsch. I. A. Maron, E. S. Schuwalowa. Métodos numéricos de análisis. Editorial Paraninfo (1980).

Realizado por Ludwing Miranda

Otros ejemplos relevantes son:

Por último, se estudiarán el comportamiento de un material dieléctrico como ejemplo de aplicación de transformación de una variable aleatoria continua.

Para simular un proceso físico, o hallar la solución de un problema matemático es necesario usar gran cantidad de números aleatorios. El método mecánico de la ruleta sería muy lento, además cualquier aparato físico real genera variables aleatorias cuyas distribuciones difieren, al menos ligeramente de la distribución uniforme ideal.

El problema crucial de la aplicación de los métodos de Montecarlo es hallar los valores de una variable aleatoria (discreta o continua) con una distribución de probabilidad dada por la función p(x) a partir de los valores de una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo [0, 1), proporcionada por el ordenador o por una rutina incorporada al programa.

Método de Montecarlo

La variable aleatoria

En los tres primeros ejemplos, la variable aleatoria X se dice que está uniformemente distribuida, ya que todos los resultados tienen la misma probabilidad. Sin embargo, en el último ejemplo, la variable aleatoria X, no está uniformemente distribuida.

En la ruleta de la izquierda de la figura los resultados posibles son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, y la probabilidad de cada resultado es 1/8. En la ruleta de la derecha de la figura los posibles resultados son {0, 1, 2, 3}, y las probabilidades respectivas {1/4, 1/2, 1/8, 1/8}, proporcionales al ángulo del sector.

Se denomina variable aleatoria, a una variable X que puede tomar un conjunto de valores {x0, x1, x2, ... xn-1}, con probabilidades {p0, p1, p2, ... pn-1}. Por ejemplo, en la experiencia de lanzar monedas, los posibles resultados son {cara, cruz}, y sus probabilidades son {1/2, 1/2}. En la experiencia de lanzar dados, los resultados posibles son {1, 2, 3, 4, 5, 6} y sus probabilidades respectivas son {1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}.

La explicación de la ley exponencial decreciente en la desintegración de una sustancia radioactiva en otra estable.

Ejemplos

El mecanismo básico de la difusión y el establecimiento del equilibrio térmico entre dos sistemas que se ponen en contacto a distinta temperatura. Estos dos ejemplos nos mostrarán el significado de proceso irreversible y fluctuación alrededor del estado de equilibrio.

Los métodos de Montecarlo abarcan una colección de técnicas que permiten obtener soluciones de problemas matemáticos o físicos por medio de pruebas aleatorias repetidas.

En la práctica, las pruebas aleatorias se sustituyen por resultados de ciertos cálculos realizados con números aleatorios.

Generador de números aleatorios

Existen varias fórmulas para obtener una secuencia de números aleatorios, una de las más sencillas es la denominada fórmula de congruencia: se trata de una fórmula iterativa, en la que el resultado de una iteración se utiliza en la siguiente. x=(a*x+c)%m;

Donde a, c, m, son constantes cuyos valores elige el creador de la rutina, así por ejemplo tenemos a=24298 c=99491 m=199017 a=899 c=0 m=32768

Basta introducir el valor inicial de x, para obtener una secuencia de números pseudoaleatorios. Alternativamente, podemos usar la clase Random que dispone el lenguaje Java.

Variable aleatoria discreta

Condición | Resultado 0<=γ<0.25 | 0 0.25<=γ<0.75 | 1 0.75<=γ<0.875 | 2 0.875<=γ<1 |3

Una vez visto un caso particular, el problema general puede formularse del siguiente modo: Si X es una variable aleatoria discreta cuyos posible resultados son {x0, x1, x2 , ... xn-1} y sean {p0, p1, p2, ... pn} sus respectivas probabilidades. Al sortear un número aleatorio γ, uniformemente distribuido en el intervalo [0, 1), se obtiene el resultado xi.

La tabla describe el sorteo de una variable discreta, siendo γ una variable aleatoria uniformenente distribuída en el intervalo [0,1).

Resultado | Proobabilidad | P. Acumulada 0 | 0.25 | 0.25 1 | 0.5 | 0.75 2 | 0.125 | 0.875 3 | 0.125 | 1

Se obtiene así una función escalonada. Cuando se sortea una variable aleatoria γ, se traza una recta horizontal cuya ordenada sea γ. Se busca el resultado cuya abscisa sea la intersección de dicha recta horizontal y del segmento vertical, tal como se señala con flechas en la figura. Si el número aleatorio γ está comprendido entre 0.25 y 0.75 se obtiene el resultado denominado x1.

Se sortea un número aleatorio γ uniformemente distribuido en el intervalo [0, 1). En el eje X se sitúan los distintos resultados que hemos nombrado x0, x1, x2, x3 . En el eje vertical las probabilidades en forma de segmentos verticales de longitud igual a la probabilidad pi de cada uno de los resultados, dichos segmentos se ponen unos a continuación de los otros, encima su respectivo resultado xi.

Para simular la ruleta situada a la derecha de la figura antes mostrada, se procede del siguiente modo: se hallan las probabilidades de cada resultado, proporcionales al ángulo de cada sector y se apuntan en la segunda columna, la suma total debe de dar la unidad. En la tercera columna, se escriben las probabilidades acumuladas.