FUNCIONES COMPLEJAS Una función compleja es una relación que asigna cada elemento en el plano X,Y al plano U,V. Además el dominio y el rango de las funciones complejas son subconjuntos del conjunto C de los números complejos.

Mehr dazu

Rama Legislativa de Colombia

von Christian Camilo Vargas A.

Identidades Trigonométricas

von Daniela Fernandez

VALORACIÓN FONOAUDIOLÓGICA DEL FRENILLO LINGUAL CORTO

von Eliana Rivera

ESTUDIO ADMINISTRATIVO DEL PROYECTO

von yesica lorena blanco

FUNCIONES COMPLEJAS Una función compleja es una relación que asigna cada elemento en el plano X,Y al plano U,V. Además el dominio y el rango de las funciones complejas son subconjuntos del conjunto C de los números complejos.

FUNCIONES EXPONENCIALES

De la misma manera que para definir la exponencial para exponentes enteros negativos se comienza por dar sentido a a-1 y se define a-1 = 1 a y de forma parecida se hace para exponentes fraccionarios definiendo formalmente a mn = amn, para extender la definición de la exponencial real a la función exponencial compleja se formaliza primero de todo la definición para el caso en que el exponente sea un número imaginario puro.

EJEMPLO: Estudiamos cuál es el valor de e3+2i. Con una calculadora de bolsillo podemos buscar los valores que aparecen en la fórmula que define la exponencial compleja, es decir, si z = 3 + 2i entonces ez = e3 ·(cos2 + isin2). Observamos que e3 = 20,0855 y que cos2 = -0,41615 y sin2 = 0,90930 (recordad que debéis tener puesto el modo RAD) y entonces, si hacemos las operaciones, obtenemos e3+2i = -8,3585 + 18,2637i. Obtenemos este mismo valor si calculamos directamente con la calculadora Wiris (o cualquier otro software similar) e3+2i.

FUNCIONES LOGARITMO

Una función logaritmo complejo es una "función inversa" de la función exponencial compleja, de la misma manera que el logaritmo natural ln x es la función inversa de la función exponencial ex. Entonces, un logaritmo de z es un número complejo w tal que ew = z.1 La notación para tal w es log z.

EJEMPLO: Si queremos calcular el logaritmo neperiano del número complejo z=1+ 3 i debemos calcular previamente el módulo y el argumento de z: | z |=2       ,    arg⁡z= ∏ 3 y entonces su logaritmo neperiano es: Logz=log⁡2+i( ∏ 3 +2k∏ )            ,    k∈ℤ Si se considera k=0 en la definición del logaritmo neperiano se obtiene el logaritmo o la rama principal, w=Log⁡z=log⁡r+iϕ  Igual que en el caso de las funciones reales, se puede definir el logaritmo cuando la base no es el número e. Si z,w∈ℂ se define el logaritmo en base z de w como Log⁡ z w= Log⁡w Log⁡z

FUNCIONES HIPERBOLICAS

En álgebra abstracta, se define un número complejo hiperbólico como aquel que tiene dos componentes reales x e y, y se escribe z = x + y j, donde j 2 = 1. El conjugado de z es z∗ = x − y j. Dado que j 2 = 1, el producto de un número z por su conjugado es zz∗ = x 2 − y 2, una forma cuadrática isotrópica que se corresponde con la expresión N(z) = x 2 − y 2.

Las conocidas funciones trigonométricas circulares con argumento real x: sh(x) ch(x) th(x) coth(x)

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Las funciones trigonométricas complejas deben ser también una generalización de las funciones reales correspondientes (seno y cosen). Sin embargo, nos encontramos con el problema de que las propiedades geométricas del plano real y en particular la definición de ángulo no se pueden extender intuitivamente al caso complejo. La generalización adecuada de las funciones seno y coseno se hará, en este caso, a partir de las fórmules de Euler:

e i x = cos x + i sin x e − ix = cos x − i sin x

Para z ∈ C definimos las funciones trigonométricas complejas siguientes: cos z = e i z + e − i z 2 sin z = e i z - e − i z 2 i tan z = sin z cos z

FUNCIONES POLINOMICAS

Las funciones polinómicas son una de las principales funciones complejas elementales. Su aspecto formal es como el de las funciones polinómicas reales f(z) = anzn + an-1zn-1 + ··· + a0, amb con la condición de que para las funciones polinómicas complejas los coeficientes ai pueden ser números complejos y que, como en el caso real, los exponentes de la variable z son números naturales. Veamos algunos ejemplos:

f(z) = 3z f(z) = 3z -2 f(z) = (3 -2i)z -(2 + 3i) f(z) = z2 -3z + 10