GEOMETRI TRANSFORMASI

Plus de détails

3. Pendampingan Pembelajaran dalam Pengembangan Sekolah3.1. Pengambilan Keputusan Berbasis Nilai-Nilai Kebajikan sebagai Pemimpin

par Togar Duharman Panjaitan

Transformasi

par Dea Aulia Restu

Estructura de la bombilla

par DIEGO RENE MARQUEZ LOZANO

DRITE-HIJET E FIGURAVE POLITIKE SHQIPTARE TE SHEK.XX Esat Pashe Toptani

par marsia cuni

Wilda Auliarahmah 20029041

Subtopic

GEOMETRI TRANSFORMASI

Transformasi Balikan

Soal Jika g sebuah garis dan A sebuah titik, tenukan baliakan transformasi Wg :

Jawab : A ϵ g, jjika A ϵ V, maka IA = A IA = A [Wg-1. Wg](A) = A Wg-1[ Wg(A)] = A Wg-1(A) = A A bukan ϵ g, maka Wg (A)= A’ = ½ h = ½ A h tegak lurus g dari A Maka, Wg-1(A) = Vg(A)

Balikan setiap pencerminan pada garis adalah pencerminan itu sendiri Teorema (6.3)

Involusi

balikan transformasi adalah dirinya sendiri

Setiap transformasimemiliki hanya satu balikan Teorema (6.2)

TI = IT = T

Definisi secara geometris Setiap transformasi T memilikibalikan (invers) (Teorema 6.1)

Hasilkali Transformasi

Soal Diketahui h adalah sumbu –x dan g adalah sumbu –y sebuah sumbu sistem orthogonal. Diketahui A(4,-3) dan P(x,y). Tentukanlah : a. Koordinat-koordinat MhMg (A) dan MgMh (A) b. Koordinat-koordinat MhMg (P)

b. Koordinat-koordinat MhMg (P) MhMg (P) = Mh [Mg (P)] = Mh [Mg (x,y)] = Mh (-x,y) = (-x,-y)

a. Koordinat-koordinat MhMg (A) MhMg (A) = Mh [Mg (A)] = Mh [Mg (4,-3)] = Mh (-4,-3) = (-4,3) Koordinat-koordinat MgMh (A) MgMh (A) = Mg [Mh (A)] = Mg [Mh (4,-3)] = Mg (-4,-3) = (-4,3)

Merupakan Transformasi, dengan pembuktian tiga sifat transformasi

(G○ F)(P) = G{F(P)}, ⱯP ϵ V

Definisi secara geometris : Jika F : V → V dan G : V → V Maka komposisinya G○ F dari F dan G

Isometri

Soal Diketahui garis g ≡ {(x,y) | y = -x}dan garis h ≡ {(x,y) | y = 2x-3}apabila Mg adalah reflexi pada garis g tentukanlah persamaan garis h’ = Mg (h)

Jawab : Karena Mg adalah sebuah reflexi pada gjadi suatu isometri, maka menurut teorema 4.1, h’ adalah sebuah garis. Garis h’ akan melalui titik potong antara h dan g, misalnya R, sebab Mg (R) = R. Jelas bahwa R(1,-1) : hakan melalui Q’ = Mg (Q). Karena Q = (3/2 , 0) maka Q’ = (0, -3/2) Sehingga persamaan h’ adalah h’ = {(x,y) | x-2y-3 = 0}

Sifat-sifat Isometri (Teorema 4.1)

Mengawetkan kesejajaran dua garis

Mengawetkan sudut anatara dua garis

Memetakan garis jadi garis

Suatu pencerminan atau refleksipada sebuah garis g adalah suatu transformasi yang mengawetkan jarak dinamakan isometri

Pencerminan (Reflexi)

Soal Diketahui g = {(x,y) | x = -3} a. Apabila A(2,1) tentukan A’= Mg (A) b. Tentukan C apabila Mg (C) = (-1,7)

Jawab : a) g : x = -3 melalui A(2,1), y = 1. B(-3,1) (-3,1) = ((x_A+ x_A' )/2,(y_A+y_A')/2) = ((2+ x_(A^' ) )/2,(1+y_A')/2) (-6,2) = (2+ x_(A^' ) ,1+y_A') (xA’ , yA’) = (-8,1) b) y = 7, titik D(-3,7) (-3,7) = ((x_c+ x_c' )/2,(y_c+y_c')/2) = ((x_c-1 )/2,(y_c+7)/2) (-6,14) = (x_c-1,y_c+7) (xc’ , yc’) = (-5,7)

Untuk menyelidiki sifat-sifat reflexi dapat dengan menyelidiki apakah pencerminan itu suatu transformasi

Setiap refleksipada garis adalah suatu isometric (Teorema 3.2)

Setiap refleksipada garis adalah suatu transformasi (Teorema 3.1)

Secara umum Refleksi merupakan transformasi berupa pemindahan setiap titik pada objek geometri melewati sebuah cermin (sumbu)

Definisi secara geometris Sebuah garis s adalah fungsi Ms untuk setiap titik pada bidang Jika P ϵ s, maka Ms (P) = P Jika P ∉ s, maka MS Sehingga garis s adalah sumbu ruas garis PP’

Transformasi

Soal : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang Euclides V. A sebuah titik yang terletak ditengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g yang didefinisikan sebagai berikut : Apabila P ϵ g maka P’ = T(P) = PA Ո h a. Apakah daerah nilai T ? b. Apakah T injektif ?

Jawab : a) Daerah nilai T adalah garis h b) Akan dibuktikan T injektif Ambil dua titik X dan Y pada g, dengan X ≠ Y. Akan ditunjukkan bahwa T(X) ≠ T(Y) dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan T(X) = T(Y), sehingga haruslah X = Y, hal ini menghasilkan kontradiksi, sebab awalnya dikatakan X ≠ Y. jadi pengendaian di ingkari. Dengan demikian, T(X) ≠ T(Y) dan dapat disimpulkan bahwa T injektif (Terbukti)

Tiga sifat Transformasi

Bijektif

Jika Surjektif dan Injektif

Surjektif

Pada B ϵ V Ada A ϵ V Sehingga B = T (A)

Injektif

Jika A1 ≠ A2 T(A1) = B1, T(A2) = B2 Maka B1 ≠ B2

f : V → V

Transformasi Kesebangunan

Transformasi dasarnya

Dilasi

Hasil kalidua dilasi adalah dilasi (Teorema 14.3

Definisi Diketahui sebuah titik A dan sebuah bilangan positif k. Suatu dilasiD dengan faktor skala k dan pusat A adalah padanan • D(A) = A • P ≠ A, D(P) = P’ adalah titik tengah sinar AP Sehingga AP’ = k(AP)

Definisi Suatu transformasi T adalah suatu transformasi kesebangunan apabila ada sebuah konstanta k>0 sehingga untuk setiap pasang titik P,Q, jarak P’Q’ = KPQ dengan T(P) = P’ dan T(Q) =Q’

Isometri, jika k =1

Putaran (Rotasi)

komposisi putaran

Hasil kalidua rotasi adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi (Teorema 11. 3)

Definisi Sebuah sudut berarah adalah suatu sudut yang salah satu kakinya ditentukan sebagai kaki awal dan kaki yang ain sebagai kaki akhir

Geseran (Translasi)

Hasil kali geseran

Setiap geseran dapat diuraikan sebagai hasi kalidua setengah putaran

Jika G AB ssebuah geseran maka invers G AB = G BA

Apabila ruas garis AB = ruas garis CD Maka G AB = G CD (Teorema 10.2)

Definisi Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah AB sehingga setiap titik P pada bidang menjadiP’ dengan G(P) = P’ sehingga PP’ = AB

Setengah Putaran

invers Sa = Sa jika Sa setengah putaran (Teorema 7.3)

Jika g dan h dua garis yang tegak lurus maka MgMh = MhMg (Teorema 7.2)

Andaikan A sebuah titik, g dan h dua garis tegak lurus yang berpotongan di A Maka Sa = MgMh

Definisisi Sebuah setengah putaran pada suatu titik A adalah suatu padanan Sa yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang

Sa (A) = A

Apabila P ≠ A maka Sa (P) = P Sehingga A titik tengah ruas garis PP’