によって Irit Elior 5年前.
563
もっと見る
הנגזרת מתארת את קצב ההשתנות של הפונקצייה. למושג הנגזרת יש פירוש גאומטרי. הנגזרת של פונקצייה בנקודה שווה לשיפוע המשיק באותה נקודה. פונקציית הנגזרת היא כלי המאפשר ללמוד את ההתנהגות של הפונקצייה – תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון ועוד תכונות ומאפיינים.
הנגזרת היא אחד הכלים לאפיין התנהגות של פונקציה: לאתר את תחומי העלייה והירידה שלה, לאפיין נקודות קיצון ולאתר את שיפועי המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות שונות. כמו כן ניתן לאתר את תחומי הקמירות והקעירות של הפונקציה
עלייה וירידה של פונקציה קשורים בסימן הנגזרת שלה.
הפונקציה עולה כאשר הנגזרת חיובית.
הפונקציה יורדת כאשר הנגזרת שלילית.
נבדוק את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה: f(x)=x^3/3-2x^2
נגזור: f‘(x)= x^2-4x.. נמצא את נקודות האפס של הנגזרת, ונקבל: x=0,x=4. כעת, נבנה את הטבלה: *ציור*. נבחר מספרי דגימה עבור כל תחום: -2,2,5 ונציב אותם בנגזרת. נקבל: f‘(-2)=12,f‘(2)=-4,f‘(5)=5. לכן, קיבלנו פה חיובי, פה שלילי ופה חיובי, כלומר תחומי: עלייה, ירידה, עלייה. נרשום זאת באופן מסודר: עליה: x<0,x>4, ירידה: 0<4.
תרגיל
נתונה הפונקציה:
f(x)=x3-3x
מצאו את נקודות הקיצון שלה וקבעו את סוגן
פתרון
נגזור את הפונקציה:
f ‘(x)=3x2-3
נשווה ל-0 ונמצא נקודות קיצון
3x2-3=0 => x2-1=0 -> x2=1 -> x=±1
קיבלנו שתי קואורדינאטות X לנקודות הקיצון, 1 ו- 1-, ולכן נציב אותן בעמודות המתאימות בטבלה.
כעת נבחר מספרי דגימה לכל תחום:
-2 , 0 , 2.
נחשב:
f‘(-2)=11
f‘(0)=-3
f‘(2)=11
קיבלנו את הסימנים חיובי, שלילי, חיובי, כלומר תחומי עלייה, ירידה, עלייה.
נקודת קיצון זו מקבלת עלייה ואז ירידה, ולכן לפי הגדרה היא נקודת מקסימום.
נקודת קיצון זו מקבלת ירידה ואז עלייה, ולכן לפי הגדרה היא נקודת מינימום.
כעת נחשב את ערכי ה-Xים בפונקציה ונקבל את קואורדינאטות ה-Y שלהן:
f(-1)= 2
f(1)=-2
לכן נקודת המקסימום היא:
(-1, 2) ונקודת המינימום היא (1,-2).
חשבון דיפרנציאלי הוא ענף במתמטיקה העוסק בנושא הפונקציה. בענף זה פותחו כלים על מנת למיין פונקציות בעלות אפיונים דומים, לחקור את התנהגותן ולחבר בין הייצוגים השונים שלהן. בענף זה עוסקים בפתרון בעיות מילוליות של ערך קיצון בתחומי הרפואה, החקלאות, הכלכלה והמסחר.
