Transformaciones y Distribuciones Muestrales

Transformaciones y Distribuciones Muestrales

Estadísticos

Cualquier función que depende de las variables X1, X2, ..., Xn

Mediana

Fórmula para n par Me=[X(n/2)+X((n+1)/2)]/2

Fórmula para n impar: Me=X((n+1)/2)

Rango

R=X(n)-X(1), donde n es el tamaño de la muestra

Varianza muestral

Media muestral

Proposiciones de las Distribuciones Muestrales

Sean X1,...,Xn iid, Xi∼N(μ,σ2)

s2(n-1)/σ2∼x2(n-1)

X y Y independientes, con X∼x2(n), X+Y∼x2(m)

Y∼x2(m-n)

Si X1, X2, ..., Xn son iid, con Xi∼N(μ,σ2)

∑(Xi-μ)2/σ2∼x2(n) sumando desde i=1 hasta n

∑Xi2(1)∼x2(n) sumando desde i=1 hasta n

Si X1, X2, ..., Xn son iid, con Xi∼x2(ni) para i=1, 2, ..., m

∑Xi∼x2(n1+...+nm) sumando desde i=1 hasta n

Si X∼N(0,1)

X2∼x2(1)

La varianza de x barra toma el valor de σ2/n1/2

La esperanza de x barra toma el valor de μ

s2

Varianza

VAR(s2)=2σ4/(n-1)

Esperanza

Muestras Aleatorias

Colección de variables aleatorias, todas ellas independientes e idénticamente distribuidas

Teoremas de transformación para variables aleatorias (X)

Vectores de Transformación

Distribución del cociente

fX/Y(u)=∫fX,Y(uv,v)|v|dv definida en u

Distribución del producto

fXY(u)=∫fX,Y(u/v,v)|1/v|dv definida en u

Distribución de la resta

X1-X2∼N(μ1-μ2,σ12+σ22)

fXY(u)=∫fX,Y(u+v,v) definida en u

Distribución de la suma

X1,X2,...,Xn∼N(μ,σ2)

fXY(u)=∫fX,Y(u-v,v) definida en u

Tercer Teorema

Pasos para aplicarlo

5. Determinar el dominio de (U,V)

4. Determinar fU,V(u,v)

3. Obtener las funciones inversas y calcular el Jacobiano

Fórmula para calcular el Jacobiano de (U,V)

Y=φ2-1(u,v)

X=φ1-1(u,v)

2. Identificar la transformación

V=φ2(x,y)

U=φ1(x,y)

φ(x,y)=(U,V)

1. Identificar fX,Y(x,y) y su dominio

(U,V)=φ(x,y) dentro de φ(I)

Función de densidad del vector (U.V)

fU,V(u,v)=fX,Y(φ1-1(u,v),φ2-1(u,v))|J(u,v)|, (u,v)∈φ(I)

Función de densidad del vector (X,Y) es fX,Y(x,y)

(X,Y) vector continuo en los reales

Segundo Teorema

Y=φ(x)={

φ2(x), x∈(b,c)

φ1(x), x∈(a,b)

Ambas funciones continuas, crecientes o decrecientes y con inversas diferenciables, a

fY(y)=fX(φ1-1(y))|(φ1-1(y))'|+fX(φ2-1(y))|(φ2-1(y))'|

X∈(a,c) con función de densidad fX(x)

Primer Teorema

Y=φ(x) dentro de φ(a,b)

La función de densidad de Y es:

fY(y)=fX(φ-1(y))|(φ-1(y))'|

φ:(a,b) una función continua, creciente o decreciente y con inversa diferenciable

Se tiene función de densidad de X fX(x)