Dualidad y Análisis de sensibilidad

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Dualidad y Análisis de sensibilidad

5. INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DUALIDAD La interpretación económica de la dualidad se basa de manera directa en la interpretación más frecuente del problema primal (problema de programación lineal en nuestra forma estándar).

Interpretación del método símplex La interpretación del problema dual proporciona también una interpretación económica de lo que hace el método símplex en el problema dual. La meta del símplex es encontrar la manera de usar los recursos disponibles en la forma más redituable. Para alcanzarla, debe llegar a una solución BF que satisfaga todos los requisitos sobre el uso provechoso de los recursos (las restricciones del problema dual). Estos requisitos comprenden la condición de optimalidad del algoritmo. Para cualquier solución BF dada, los requisitos (restricciones duales) asociados con las variables básicas se satisfacen de manera automática (con la igualdad). Sin embargo, los asociados con las variables no básicas pueden o no ser satisfechos.

Interpretación del problema dual Para ver la forma en que esta interpretación del problema primal conduce a una interpretación económica del problema dual, nos detenemos a observar que W es el valor de Z (utilidad total) en la iteración actual. En otras palabras, los valores de yi (o los valores de yi* en la solución óptima) no son otra cosa que los precios sombra.

Cada biyi puede interpretarse como la contribución a la ganancia por disponer de bi unidades del recurso i en el problema primal. Así, la variable yi se interpreta como la contribución a la ganancia por unidad del recurso i (i 5 1, 2, . . . , m), cuando se usa el conjunto actual de variables básicas para obtener la solución primal.

W + b1y1 + b2y2 + . . . + bmym,

4. Teorema de dualidad

3. Si un problema no tiene soluciones factibles, entonces el otro problema no tiene soluciones factibles o bien la función objetivo es no acotada.

2. Si uno de los problemas tiene soluciones factibles y una función objetivo no acotada (es decir, no tiene solución óptima), entonces el otro problema no tiene soluciones factibles.

1. Si un problema tiene soluciones factibles y una función objetivo acotada (y, por ende, una solución óptima), entonces ocurre lo mismo con el otro problema, de manera que se aplican tanto la propiedad de dualidad débil como la fuerte.

3. Observando nuestra forma estándar para el problema primal,(después de hacer las conversiones correspondientes cuando provienen de otras formas), su problema dual tiene la forma contraria a este.

3. Los coeficientes de una variable de las restricciones funcionales del problema primal son los coeficientes de una restricción funcional del problema dual.

2. Los lados derechos de las restricciones funcionales del problema primal son los coefi cientes de la función objetivo del problema dual.

1. Los coeficientes de la función objetivo del problema primal son los lados derechos de las restricciones funcionales del problema dual.

6.LA DUALIDAD EN EL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Como se describe en ésta y las dos secciones siguientes, el análisis de sensibilidad consiste, en esencia, en la investigación del efecto que tiene sobre la solución óptima el hecho de hacer cambios en los valores de los parámetros del modelo aij, bi y cj. Sin embargo, al cambiar los valores de los parámetros en el problema primal se cambian también los valores correspondientes en el problema dual.

Introducción de una nueva variable

O quizás estas otras actividades no fueron visibles sino hasta después de formular y resolver el modelo original. De cualquier manera, la pregunta en este caso es si se justifica la inclusión de alguna de estas actividades no consideradas con anterioridad. En otras palabras, ¿cambiará la solución óptima original si se agrega cualquiera de estas actividades? La inclusión de otra actividad equivale a introducir en el modelo una nueva variable, con los coeficientes apropiados en las restricciones funcionales y en la función objetivo. El único cambio que resulta en el problema dual es la introducción de una nueva restricción.

Las variables de decisión del modelo suelen representar los niveles de las distintas actividades en consideración. En algunas situaciones, se seleccionan algunas de ellas de entre un grupo grande de actividades posibles en el que las restantes no fueron elegidas debido a que parecían ser menos atractivas.

Cambios en los coeficientes de una variable no básica

Como la variable en cuestión es no básica (su valor es cero), el cambio en sus coeficientes no puede afectar la factibilidad de la solución, por lo cual, la pregunta que queda abierta en este caso es si todavía es óptima.

Suponga que los cambios que se hacen en el modelo original ocurren en los coeficientes de una variable que era no básica en la solución óptima original. ¿Cuál es el efecto de estos cambios sobre esta solución? ¿Todavía es factible? ¿Todavía es óptima?

1.Uno de los acontecimientos mas importante en el desarrollo de la programación lineal es el concepto Dualidad. A partir de este concepto se determino que, relacionado con todo problema de programación lineal existe otro problema lineal llamado dual. La dualidad presente distintas aplicaci- ones, estas son:

Forma estándar

Estimaciones

Análisis de sensibilidad

2. Una de las aplicaciones mas importante de la dualidad es la interpretación y realización de el análisis de sensibilidad, este análisis es parte esencial de todo problema de programación lineal. Este análisis es necesario para investigar el efecto que tendría sobre la solución optima en caso de que se estimen otras condiciones.

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