Transformaciones y distribuciones muestrales

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af CK r i s t o

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af Florencia Marín

Transformaciones y distribuciones muestrales

Transformación de cambio variable

Teorema de cambio de variable 3. Sea (X, Y ) un vector continuo con valores en I ⊆ R2, y con función de densidad fX,Y (x, y). Sea ϕ(x, y) : I → R2 una función continua con inversa ϕ−1(u, v) diferenciable. Entonces el vector (U, V ) = ϕ(X, Y ) toma valores en ϕ(I) y tiene función de densidad fU,V (u, v) = 2 fX,Y (ϕ−1(u, v)) |J(u, v)| para (u, v) ∈ ϕ(I), 0 otro caso

Teorema de cambio de variable 2. Sea X una variable aleatoria continua con valores dentro de un intervalo (a, c) ⊆ R, y con función de densidad fX(x). Sea ϕ : (a, c) → R una función tal que admite la descomposición ϕ(x) = & ϕ1(x) si x ∈ (a, b), ϕ2(x) si x ∈ (b, c), en donde a

Teorema de cambio de variable 1. Sea X una variable aleatoria continua con valores dentro de un intervalo (a, b) ⊆ R, y con funci´on de densidad fX(x). Sea ϕ : (a, b) → R una funci´on continua, estrictamente creciente o decreciente, y con inversa diferenciable. Entonces la variable aleatoria Y = ϕ(X) toma valores dentro del intervalo ϕ(a, b), y tiene funcion de densidad fY (y) = fX(ϕ−1(y)) |d/dyϕ−1(y)| para y ∈ ϕ(a, b), 0 otro caso

Distribuciones

Proposición´ . Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con función de densidad fX,Y (x, y) y tal que Y ̸= 0. Entonces X/Y tiene función de densidad fX/Y (u) = INTEGRAL DE (∞−∞)fX,Y (uv, v)|v| dv

Proposición´ . Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con función de densidad fX,Y (x, y). Entonces XY tiene función de densidad fXY (u) = INTEGRAL DE(∞ −∞ )fX,Y (u/v, v) |1/v| dv.

Proposicion´ . Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con funci´on de densidad fX,Y (x, y). Entonces X + Y tiene funci´on de densidad fX+Y (u) = INTEGRAL DE(' ∞−∞)fX,Y (u − v, v) dv.

Proposición´ . Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con función de densidad fX,Y (x, y). Entonces X + Y tiene función de densidad fX+Y (u) ='INTEGRAL DE(∞−∞)fX,Y (u + v, v) dv.

Funcion generatriz de momentos

Definición 2.9.- Si X es una variable aleatoria con función de distribución acumulada 𝐹_𝑋. La función generatriz de momentos (fgm) de X, denotada por 𝑀_𝑋 (𝑡) , es 𝑀_𝑋 (𝑡)=𝐸𝑒^𝑡𝑋 siempre que la esperanza exista para t en alguna vecindad de 0. Esto es, si hay un ℎ>0 tal que, para todo t en –ℎ<𝑡<ℎ, 𝐸𝑒^𝑡𝑋 exista. Si la esperanza no existe en una vecindad de 0, decimos que la función generatriz no existe. Teorema 2.10.- Si X y Y son variables aleatorias independientes con funciones generatriz de momentos 𝑀_𝑋 (𝑡) y 𝑀_𝑌 (𝑡). Entonces la función generatriz de momentos de la variable aleatoria 𝑍=𝑋+𝑌 esta dada por 𝑀_𝑍 (𝑡)=𝑀_𝑋 (𝑡) 𝑀_𝑌 (𝑡)

Propiedades: 1. La n-derivada de la función generatriz de momentos 𝑀(𝑡) es 𝑀_𝑋^𝑛 (𝑡)=𝑑/(𝑑𝑡^𝑛 ) 𝐸(𝑒^𝑡𝑋 )=𝐸(𝑑/(𝑑𝑡^𝑛 ) 𝑒^𝑡𝑋 )=𝐸(𝑋^𝑛 𝑒^𝑡𝑋 ) 2. La n-derivada de la función generatriz de momentos evaluada en 𝑡=0 es 𝑀^𝑛 (0)=𝐸(𝑋^𝑛 )

Distribuciones muestrales estadisticos de orden

Distribución ji-cuadrada. ´ La variable aleatoria continua X tiene una distribución ji-cuadrada con n > 0 grados de libertad En este caso se escribe X ∼ χ2(n). El terminó χ2 se lee ji-cuadrada. La grafica de esta función de densidad s

Ejemplo: cuartil, varianza, moda, media...

Definición´ . (Estadística). Una estadística es una variable aleatoria de la forma g(X1,...,Xn), en donde X1,...,Xn es una muestra aleatoria, y g : Rn → R es una función Boral medible

Definición´ . (Muestra aleatoria). Una muestra aleatoria es una colección de variables aleatorias X1,...,Xn, que cumplen la condición de ser independientes y de tener cada una de ellas la misma distribución. Al numero n se le llama tamaño de la muestra aleatoria.