LÍMITE

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Aspectos científicos

Weierstrass contribuyó con un trabajo: "Observaciones sobre factoriales analíticas". Según David Hilbert, Weierstrass había obtenido uno de los más grandes resultados del análisis, la solución del problema de Jacobi sobre la inversión de integrales hiperelípticas. De hecho Weierstrass se dedicó durante toda su vida a fundamentar rigurosamente una teoría completa y coherente de las funciones abelianas. UNIVERSIDAD DE LA RIOJA

Contribuir de forma especial al análisis de la teoría de grupos, las permutaciones y la física matemática (elasticidad). Cuentan que una vez le presentaron un artículo que pretendía demostrar que la ecuación x^3+y^3+z^3=t^3 no tenía soluciones enteras. Cauchy devolvió el artículo con la anotación: 3^3+4^3+5^3=6^3 NOTA:El nombre más repetido en los títulos de teoremas y conceptos matemáticos de todos los tiempos es el de Cauchy REVISTASUMA.ES

- Fue tan prolífico, unas 800 páginas anuales, que todavía no se han terminado de publicar los 75 volúmenes que se calcula componen su producción. La más célebre de sus obras, Introduction in analysim infinitorum (Análisis del infinito), se convirtió pronto en el texto de análisis de referencia. Contiene las fórmulas que relacionan las funciones trigonométricas y la exponencial, los símbolos e, π, i… Otras dos obras completan este campo del análisis: Cálculo diferencial y Cálculo integral. - Trató el concepto de función como relación analítica entre dos variables, en lugar de apoyarlo sobre conceptos geométricos, e introdujo el símbolo f(x) para designar una función. - Trabajó sobre teoría de números. Abordó, entre otras cuestiones, el último teorema de Fermat (La ecuación a^n + b^n = c^n no tiene solución entera para n > 2), demostrándolo para n = 3 y n = 4. - A él se debe la relación de Euler sobre los poliedros (c + v = a + 2). GRUPO SM

La Regla de Barrow establece que la integral definida anterior. La Regla de Barrow permite el cálculo de integrales definidas a partir de alguna de sus primitivas. La aplicación más conocida es el cálculo del área delimitada por la gráfica de una (o varias) funciones. MANUAL DE MATEMÁTICAS PARA INGENIEROS Y ESTUDIANTES

Aportes cientificos

La regla de los signos de Descartes: Sin una demostración de la regla, explica su método aplicándolo a x*- 4x3-19x2 + 106x 120=0, ecuación construida multiplicando las ecuaciones x-2=0, x-3=0, x-4=0, x+5=0 a fin de obtener una ecuación de cuarto grado con tres raíces positivas, (x-2)(x-3) (x-4) (x+5) = x*- 4x?- 19x + 106x-120 = 0). UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

Utilizando su método demostró que el volumen de una pirámide es la tercera parte del de un prisma de misma base y altura, y que el volumen de un cono es la tercera parte del de un cilindro de misma base y altura, teoremas ya intuidos por Demócrito. Estas relaciones se mantienen para cualquier base, es decir, para pirámides y prismas de bases de cualquier cantidad de lados, así como para conos y cilindros de bases elípticas. Fue el primero en plantear un modelo planetario basado en un modelo matemático. Eudoxo descubrió que el año solar tiene 365 días y 6 horas. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Se dice que ello ha sido posible por tener la matemática un objeto en el que lo buscado está siempre en último termino relacionado con el orden y la medida.

El limite es un concepto riguroso y estático en términos de números reales, sus relaciones y operaciones y sirve para demostrar teoremas generales de clases de funciones. UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, emplear explícitamente para denotar alguno de los varios conceptos geométricos derivados de una curva, tales como abscisa, coordinar, tangente (Tangent), acordey la perpendicular.[65] En el siglo XVIII, "función" perdió estas asociaciones geométricas. Leibniz fue el primero en ver que los coeficientes de un sistema de sistemas de ecuaciones lineales se podrían arreglar en una matriz. En 1679, Leibniz ideó el sistema binario moderno y lo presentó en su trabajo Explication de l’Arithmétique Binaire en 1703. El sistema de Leibniz usa los números 1 y 0 para representar todas las combinaciones numéricas, a diferencia del sistema decimal. copro.com.ar

"El limite se refiere a una función, y sobre este se estructura todo el Análisis"

- Enunció y demostró la Ley de Gravitación Universal en 1685. F = G . m1 . m2 / r² - Estableció las bases de la mecánica clásica mediante sus tres leyes relativas al movimiento (las tres leyes de la dinámica): 1) En la ausencia de fuerzas exteriores, todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe sobre él una fuerza que le obligue a cambiar dicho estado. 2) La variación de momento lineal de un cuerpo es proporcional a la resultante total de las fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se produce en la dirección en que actúan las fuerzas. 3) Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma: Las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud, sentido opuesto y están situadas sobre la misma recta. - Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas + Descubrió que el espectro de color que se observa cuando la luz blanca pasa por un prisma es inherente a esa luz, en lugar de provenir del prisma - Argumentó la posibilidad de que la luz estuviera compuesta por partículas y no por ondas. - Formuló una ley de conducción térmica, que describe la tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire. - Es autor de diversos estudios sobre la velocidad del sonido en el aire. - Es autor de una teoría sobre el origen de las estrellas. DIARIO MÉDICO BRITÁNICO

Método de exhaución de Eudoxo. Se privilegian las demostraciones por doble reducción al absurdo, para probar relaciones entre magnitudes geométricas, deducidas intuitivamente, más que el hallazgo de resultados. UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

a) Ultimo teorema de Fermat b) Si P es un numero primo, y a es un entero que no es divisible por p, entonces a^p - I - 1== 0 (mod p), en otras palabras, p divide a a^P- 1 - 1. Esta proposición , conocida como el pequeño teorema de Fermat, fue demostrada mas tarde, y en forma mas general, por Euler. c) Fermat afirma que el área de un triangulo rectángulo de lados racionales no puede ser un racional. Esta proposición puede reformularse así: no existen tres enteros x, y, z tales que x^2+y^2 =z^2 (x,y,z denotan las longitudes de los catetos y la hipotenusa, respectivamente) y que 1/2 (XY)(el área del triangulo) sea un numero entero. Esta es la única proposición, en toda la obra de Fermat UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, SEDE MEDELLIN

¿QUE ES EL LIMITE?

El concepto de ‘límite” ocupa una posición central en el campo conceptual del cálculo y su complejidad resulta ser fuente de dificultades tanto en la enseñanza como en el aprendizaje. Primero por su carácter estructural que lo constituye el eje central y concepto básico sobre el cual se construye la estructura del Cálculo diferencial e integral y otros conceptos de otras ramas de la matemática; también por su carácter instrumental como herramienta para la solución de problemas tanto al interior de las matemáticas como de ciencias aplicadas como la Física, la Ingeniería y finalmente, como objeto matemático que se gesta en diferentes con-textos: geométrico, aritmético, métrico, topológico y asociado a otros objetos matemáticos. UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

La formula en cuadratura de Cavalieri FREUDENTHAL INSTITUUT, UNIVERSIDAD DE UTRECHT (HOLANDA)

Leyes de Kepler: 1.) Los planetas se mueven en órbitas elípticas y el Sol está en uno de los focos; 2.) La línea que conecta al planeta y al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales y 3.)El cuadrado de los periodos de los planetas es proporcional al cubo de las distancias de éstos al Sol. Aunque no alcanzó las interpretaciones físicas correctas, ciertamente sentó las bases para los desarrollos de Newton sobre la gravitación universal. Estas tres leyes son los pilares en los que descansa la cosmología moderna BIBLIOTECA UNIVERSITARIA

La serie armónica se define como: ∞ ∑ k=1=1/k Oresme fue la primera persona que demostró que esta serie no es convergente (concepto que como tal no existía en su época ). Su demostración consistió en agrupar los términos de la sucesión en bloques de 2,4,8,16,32,.., esto a partir de k = 3, la suma de de los términos de cada bloque es mayor a 172 . Consiguió así verificar que la serie armónica es mayor que una cantidad (infinita) de 1/2 . ∞ ∑ k=1=1/k= 1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+... ESCUELA MATEMÁTICA UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

El paso al limite queda disimulado cuando considera apropiado tomar las cantidades infinitamente pequeñas como ceros (finitas) pero sus razones pueden ser finitas (Limite). UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

Así como las verdades necesarias se rigen por el principio de identidad, las verdades contingentes se rigen por estos dos principios. · El principio de razón suficiente, que afirma que nada sucede gratuitamente, es decir, que a todo fenómeno le corresponde una explicación, una razón de ser que se presente admisible a la razón.

Límite es un “ente último” tal, que existe una diferencia infinitesimal entre él y los valores que se le aproximan, tanto como se quiera. UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

El limite es una cantidad (Cociente) a la cual una razón de cantidades en movimiento se aproxima continuamente, mas que cualquier diferencia dada y no puede alcanzarla o sobrepasarla antes que las cantidades hayan decrecido indefinidamente. UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

permite el cálculo de integrales definidas a partir de alguna de sus primitivas. La aplicación más conocida es el cálculo del área delimitada por la gráfica de una (o varias) funciones.

El paso al limite es una operación matemática que consiste en aplicar números a las variables y omitir valores despreciables respecto de otros. UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

Se acude a la intuición geométrica, al libre uso del infinito y extensos cálculos numéricos, para hallar resultados cuantitativos. UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

pensamiento filosófico

Métodos heurísticos de inducción incompleta, analogía, interpolación lo llevó a métodos algorítmicos y fórmulas universales. UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

Sobre la esfera y el cilindro, sobre la medida del círculo, sobre conoides y esferoides, sobre las espirales, el arenario, cuadratura de la parábola, el Método, sobre los cuerpos flotantes, stomachion, el libro de los lemas, el problema de los bueyes, trabajos sobre mecánica y óptica, cuerpos flotante, equilibrio de los plano, sobre las espirales y medida del círculo UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

“La distancia más corta entre dos puntos es una línea recta”

Con su “método mecánico” (oculto) y de aproximaciones sucesivas” encuentra resultados que luego prueba por el método de exhaución. UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

Aportes científicos

Pensamiento filosófico

LÍMITE

Primera y segunda desigualdad

Courant y Robbins en 1964 Rudin en 1980 Linés en 1980 Apostol en 1989 García en 1993 Laron, Hostetler, Edwards, Thomas y Finney en 1998

El limite según Michael Spivak en el calculo infinitesimal en 1981

[La función f tiende hacia el límite l cerca de a, si se puede hacer que f (x) esté tan cerca como queramos de l haciendo que x esté suficientemente cerca de a, pero siendo distinto de a... solamente hace falta que f (x) esté próximo a l cuando x está próximo a a pero es distinto de a Una definición formal del limites es: La función f tiende hacia el límite 1 en a significa: para todo ε > 0 existe algún δ > 0 tal que, para todo x, si 0 < ‌ x–a ‌ < δ, entonces ‌ f(x) – l ‌ < ε.

el límite de f (x) cuando x tienda hacia a... La ecuación

Funciones continuas Intuitivamente, una función f es continua si su gráfica no contiene interrupciones, ni saltos ni oscilaciones indefinidas. La función f es continua en a si

Nueva definición, de Karl Weierstrass, en 1872

Si, dado cualquier ε , existe un η0, tal que para 0 < η < η0 , la diferencia f(xo ± η) – L es menor en valor absoluto que ε, entonces se dice que L es el límite de f(x) para x = xo

Course d'analyse de I'École polytechnique, de Augustine Louis Cauchy en 1821.

Cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de él en tan poco como queramos, este último valor se llama el límite de todos los demás

CONCEPCIÓN ALGORÍTMICA ALGEBRAICA - EULER 1701-1783

El paso al limite queda disimulado cuando considera apropiado tomar las cantidades infinitamente pequeñas como ceros (finitas) pero sus razones pueden ser finitas (Limite). ALGEBRAICA: los diferenciales son cantidades finitas. ALGORÍTMICA: Privilegia las fórmulas y los algoritmos más que las demostraciones y poco se preocupa por la búsqueda de los Fundamentos del Cálculo Infinitesimal FUNCIÓN: Expresión analítica. UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

Introdujo la notación i para raiz de -1 . Euler había utilizado el símbolo i para denotar lo que podríamos llamar un número infinito. Por ejemplo, Euler escribíar

En donde lo escribimos:

La creacion del calculo diferencial e integral por Leibniz en 1646 hasta 1716

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN y DE NÚMERO REAL: Están ausentes. La función es una expresión analítica y la diferencia entre 1 y 0.99999... es el segmento que falta por recorrer más que un número. Le dio importancia al calculo de las tangentes a la curvas, en donde encontró un método inverso al encontrar las áreas y volúmenes a través de las sumas. En 1676 ofreció las reglas f ′(x) = axa − 1 en donde también para un entero o fraccional xn=xn+1/n+1 Por ultimo crea un nuevo método para "máximos y mínimos, y también para tangentes, que no se ve obstruido por las cantidades fraccionarias ni por las irracionales" Se percibe la influencia de Pascal y de Barrow y así como Huygens y Descartes. Aquí aparecen las reglas básicas de la derivación d(xy)=xdy+xdy d(x/y)= ydx-xdy/y2

la separación del calculo de la geometría por Newton en 1642 hasta 1727

Basado en las series infinitas, fluxiones y diferencias

CONCEPCIÓN DE NEWTON:El limite es una cantidad (Cociente) a la cual una razón de cantidades en movimiento se aproxima continuamente, mas que cualquier diferencia dada y no puede alcanzarla o sobrepasarla antes que las cantidades hayan decrecido indefinidamente. UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

Isaac Barrow desarrollo el metodo para crear tangentes a curvas en 1699

Reconocer la relación que existe entre los problemas de cuadraturas y tangentes (que en términos modernos se refiere a la integración y diferenciación como procesos inversos). La figura 1 anterior establece que para trazar una recta tangente a una curva, ésta última debe estar relacionada con la cuadratura de otra curva. Juan Carlos Ponce Campuzano (Universidad de Colima. México) Números revistas de didácticas matemáticas.

Método de la tangente en una curva, de Descartes, en 1638

La imagen nos muestra, las diferentes ecuaciones de límite que planteó Descartes para la solución de tangentes.

En el cual considera, que la curva y la tangente de la misma, coinciden en un entorno pequeño de dicho punto. Se basa en dibujar la recta en el punto P=(x,f(x)), y para ello, halla la subtangente utilizando semejanza de triángulos. Para obtener los segmenos necesarios se considera f(x+E)-f(x), se dvidia por E y se tomaba e igual a cero. lo que equivale a hallar el límite funcional de la abscisa de punto P.

Métodos para el cálculo de tangentes de extremos, de Fermat, 1636

Primer método general para conocer máximos y mínimos. Este método permitirá conocer el punto de intersección de la tangente con el eje de la parábola, la facilidad de que da, es que para encontrar este basta con encontrar la proyección sobre el eje. Escuela Regional de Matematicas Cali, Colombia

Calcular la pendiente de una recta tangente a una curva algebraica por medio del siguente:

método de los indivisibles, de Cavalieri en 1636

Fue utilizado para determinar áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos. Cavalieri representaba estos objetos mediante una superposición de elementos cuya dimensión era una unidad menor que aquella a evaluar. Historia de las Matemáticas, de E. T. Bell, Fondo de Cultura Económica, México, 1995, Pág. 146 y 147.

Método de los infinitésimos, de Kepler en 1615

Era utilizado para resolver problemas de medidas de volúmenes o áreas. El método consiste en creer que todos los cuerpos se descomponen en infinitas partes a la vez estas infinitamente pequeñas con áreas y volúmenes desconocidos.

Estudio de las series numéricas de Nicole de Oresme, a mediados de 1360

A partir de una sucesión, es posible construir otra nueva, si se suman los números de esta, consecutivamente. Departamento de Matemática Aplicada Escuela Politécnica Superior de Alcoy Universidad Politécnica de Valencia

Boyer intenta definir el limite según Newton

Se baso en dos lemas: 1. cantidades y la razón de cantidades 2. La razón ultima del arco, cuerda y tangente

Método de exhausción de Eudoxo de Cnido, en el 360 a.C.

un ejemplo de la aplicación de el método de exhausción

Es un procedimiento netamente geométrico, basado en lograr la mayor aproximación a un resultado. En este, a medida que se hace mas repetitivo el procedimiento, mas acertado va a ser el resultado. El mas claro ejemplo de la utilización de este método, es el cálculo de la longitud de una circunferencia, de Arquímedes.

Las cuadraturas de Arquímedes, en el siglo III a.C.

Un cuadrado diseccionado en infinitos cuadros mas pequeños, cada cuadro morado tiene 1/4 del área de su antecesor. generando la serie 1+1/4+1/16+1/64.... cada cuadro morado tiene su congruente amarillo, lo que suma 1/3, dando como resultado

Se basó en calcular la suma de la serie geométrica resultante y demostró que ésta era el área de una parábola. el proceso se basaba en: tomar la parábola y diseccionarla en pequeños triángulos, esto, para poder aplicar una proyección geométrica.