Capítulo 4

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Capítulo 4

4.1 El problema de la recta tangente

Recta tangente con pendiente: Sea y = f(x) continua en el número a. Si el límite existe, entonces la recta tangente a la gráfica de f en (a, f(a)) es la recta que pasa por el punto (a, f(a)) con pendiente mtan.

Pendiente de rectas secantes: Si las coordenadas de P son (a, f(a)) y las coordenadas de Q son (a+h,f(a+h)), la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q es

Recta tangente a una gráfica: La palabra tangente surge del verbo latino tangere, que significa “tocar”. Quizá recuerde del estudio de geometría plana que una tangente a un círculo es una recta L que corta, o toca, al círculo exactamente en un punto P.

La idea de tocar traslada del concepto de recta tangente a la gráfica de una función, pero la idea de cortar la gráfica en un punto no lo hace.

Suponga que y = f (x) es una función continua. f posee una recta tangente L a su gráfica en un punto P, entonces ¿cuál es la ecuación de esta recta? Para contestar esta pregunta requerimos las coordenadas de P y la pendiente mtan de L. Las coordenadas de P no presentan ninguna dificultad, puesto que un punto sobre la gráfica de una función f se obtiene al especificar un valor de x en el dominio de f. Así, las coordenadas del punto de tangencia en x = a son (a, f (a)). En consecuencia, el problema de encontrar una recta tangente se vuelve en el problema de encontrar la pendiente mtan de la recta.

4.2 La derivada

Diferenciabilidad implica continuidad:Si f es diferenciable en un número a, entonces f es continua en a.

La derivada de una función y = f(x) en x está dada por siempre que el límite exista.

El límite del cociente de la diferencia define una función: una función que se deriva de la función original y  f(x). Esta nueva función se denomina función derivada, o simplemente la derivada, de f y se denota por f .

4.3 Derivada de potencias y sumas

Derivada de la función potencia

el patrón para la derivada de la función potencia general es el exponente se escribe como múltiplo . el exponente disminuye por uno

Regla de potencias: Para cualquier número real n

Regla de la función constante: Si f(x) = c es una función constante, entonces f =(x) = 0.

Regla de la multiplicación por constante: Si c es cualquier constante y f es diferenciable en x, entonces cf es diferenciable en x, y d/dx cf(x) = cf'(x)

Ejemplo: Diferencie y = 5x4. Solución Por (3) y (5), dy dx= 5d/dx x4 = 5(4x3)= 20x3.

Reglas de suma y diferencia: Si f y g son diferenciables en x, entonces f  g y f  g son diferenciables en x, y