Estudio de la continuidad de una función f(x)

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Funciones a trozos

Ejemplo 3

Ejemplo 2

Ejemplo 1

Se dice f es continua en x=a

Una función es continua en x=a si lo es por la derecha y por la izquierda a la vez

El punto donde se estudia la continuidad siempre pertenece al dominio de la función en cuestión

Estudio de la continuidad de una función f(x)

Propiedades de las funciones continuas

Función compuesta

Si f es continua en x=a y g es continua en f(a)

Es continua en x=a

Si f y g son funciones continuas en x=a

Son continuas en x=a

f(x) · g(x)

f(x)-g(x)

f(x)+g(x)

Comprobar que f presenta una discontinuidad en un punto

Dependiendo de cuál de las tres condiciones que determinan la continuidad de una función en un punto x=a falle

Cuando el límite de f en un punto no existe, aún cuando la función no tiende a infinito.

Ejemplo

Inevitables o esenciales

De salto finito

Decimos que f tiene una discontinuidad inevitable de salto finito en x=a.

Ambos existen y finitos

De salto infinito

Decimos que f tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito en x=a.

O los dos son infinitos

Evitables

Si queremos que f sea continua en x=a, se `puede definir una nueva f con

Decimos que f tiene una discontinuidad evitable en el punto x=a

PERO FINITO

Discontinuidad evitable

Funciones elementales

Es continua en todo R excepto en

Son continuas en todo R

Es continua en todo su dominio

Si fuera

f(x) sería continua en los valores de x para los que

La función logarítmica es continua en todos los números reales estrictamente

La función exponencial es continua en todo R

Función exponencial

La función irracional es continua en

En todos los x talque P(x) es mayor o igual que cero si n es par

Función irracional

Todo R si n es impar

La función racional con P(x) y Q(x) polinomios es continua en todo R excepto los x que anulan el denominador.

Funciones racionales

Las funciones polinómicas son continuas en todo R

Comprobar que f es continua

Si f está definida solamente en el intervalo [a, b] y se dice que f(x) es continua en a o en b, se entiende en el sentido de que

En un intervalo [a,b)

En un intervalo (a,b]

En un intervalo abierto (a,b)

Cuando f es continua en cada uno de sus puntos

En un intervalo cerrado [a,b]

Si cumple

Continua en todos los puntos pertenecientes a dicho intervalo

En un punto x=a

f es continua por la izquierda en a, si

f es continua por la derecha en a, si

Si no las cumple

f(x) es discontinua en el punto x=a

Cumplir las siguientes condiciones

Que el límite de f(x) en x=a coincida con f(a)

Que exista f(a)

Que exista el límite de f(x) en el punto x=a

Idea intuitiva

Que no haya que levantar el lápiz del papel al dibujar la gráfica de una función cuando pasemos por los puntos en los que está definida.