Conceptualización de vectores, matrices y determinantes

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EXPRESION ALGEBRAICA DE UN VECTOR : Es un conjunto de elementos ordenados en renglón o columna. Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales (a,b). Los números a y b se conocen como las componentes del vector v. El vector cero es (0,0).

por Deisy Yolanda Amortegui Sanchez

Conceptualización de vectores, matrices y determinantes

Matriz inversa y diferentes métodos para obtenerla

Es la transformación lineal de una matriz mediante la multiplicación del inverso del determinante de la matriz por la matriz adjunta traspuesta. Ósea una matriz inversa es la multiplicación del inverso del determinante por la matriz adjunta transpuesta.

-Método de la adjunta: . . . . .

Métodos para obtenerta: -Método de Gauss : . . . .

Tipos de matrices

Tipos de matrices: -Matriz inversa -Matriz nula -Matriz traspuesta -Matriz rectangulas -Matriz columna -Matriz fila

Operaciones con matrices

Suma: Es cuando cada entrada de la matriz suma, se obtiene sumando los respectivos elementos, (a,b) de cada una de las matrices. 1 2 3 -2 5 7 Ejemplo: Sea A = 4 5 6 y B= 9 11 13 Entonces: 1 + (-2) 2+5 3+7 -1 7 10 A + B = 4 + 9 5+11 6+13 13 16 19 =

Multiplicación: sea una matrix n x m y B una matriz n,p; entonces, el producto A y B que lo notamos AB , es una nueva matris digamos C, de tamaño m x p. En donde cada entrada de la nueva matriz, la obtenemos al multiplicar (cada producto) fila i-ésima de A con la columna j ésima de B, este resultado (que es un escalar) corresponde a la matriz c, de la matriz C. 1 5 -1 2 Ejemplo: sea D = 7 3 y E = 4 6 f11 f12 Si llamamos F = DE, entonces F es de la forma F=f21 f22 Ya que: D E D E 2X2 2 X 2 2 X 2 2 X 2 Compatible Tamaño de la matriz F f11 = 1 5 . -1 4 = -1+20 = 19 f12= 1 5 . 2 6 = 2+30 = 32 f21= 7 3 . -1 4 = -7+12= 5 f22= 7 3 . 2 6 = 14+18= 32 Por lo tanto: F = 19 32 5 5 32

Resta: consiste en sustraer los elementos de dos o más mattices que conincidan en su posición de sus respectivas matrices y que estas tengan el mismo orden. Ejemplo: a b c 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 - 2 2 0 0

Propiedades de los determinantes

Propiedad 2. - El determinante de la matriz con alguna fila o columna es cero = 0 1 0 Ejemplo: A = 1 0 l A l = 0

Propiedad 9. Si una matriz tiene filas o columnas lineales dependientes, entonces su determinante es 0. . 1 2 3 . 2 4 6 = 0 . 1 2 3 Las filas 2 y 3 de la matriz son múltiplos de la primera

Propiedad 8. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. t . lAl = lAl

Propiedad 7. Si una matriz es invertible, el determinante de la inversa es el inverso del determinante. .

Propiedad 6. Si se cambia el orden de n filas o columnas, el determinante cambia de signo si n es impar. . 3 2 3 2 4 6 -8 = 2 4 6 = 8 2 2 . 8 2 2 3 2 3

Propiedad 5. Si se cambia de una orden una fila o de una columna el determinante cambia de signo.

Propiedad 4. Se puede extraer el mismo factor común de n filas o columnas multiplicando el determinante por el factor elevado a n.

Propiedad 3. Se pueden extraer factor común de una fila o columna multiplicando el determinante por el factor. l 3 2 3 l 3 2 3 l2 4 6 l =2. 1 2 3 l0 2 1l 0 2 1 - 16 = 2 . (8)

Propiedad 1. El determinante de productos de matrices es el producto dde sus determinantes: l A . Bl = lAl . lBl

Propiedades de los vectores

Producto cruz: Es una operación binaria entre dos factores es un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Estas propiedades se prueban mediante las propiedades de los determinantess.

Producto punto: es una manera fundamental en la que podemos combinar dos vectores. Cuando dos vectores se combinan bajo suma o rescta el resultado es un vector. Cuando dos vectores se combinan usando el producto punto el resultado es un escalar.

Vectores canónicos: es aquel arreglo que está formado por una y solo una entrada igual al neutro multiplicativo, y el resto de las entradas, el elemento neutro aditivo. Los vectores canónicos en R2, se representan: Los vectores (1,0) y (0, 1), son linealmente independientes. Forman la base canónica en R2.

Operaciones básicas con vectores: se pueden realizar sumas, restas y multiplicación por escalar.

Propiedades: Magnitud: Indica el valor númerica del vector a través de una unidad de medida. Sentido: Esta indicado por la punta de una flecha. E indica la dirección del vector que puede ser arriba, abajo, derecha e izquierda. Dirección: Es la inclinacion de la recta y representa al ángulo entre ella y un eje imaginario. También se utlizan los ejes x, y, z.

Expresión algebraica de un vector

Vectores unitarios: son los vectores que su módulo es = 1

Ángulos directores: Se les llama ángulos directores de un vector V, con componentes (v1, v2, v3), a los cosenos de los ángulos de la misma forma con las posiciones positivas de los ejes x, y, z respectivamente ángulos directores

Norma: debe cumplir con las siguientes propiedades ll v ll es un número real no negativo ll v ll = 0 v = 0

Un vector v en el plano xy, es un par ordenado de números reales (a, b). Los níúmeros a y b se conocen como los componentes de v. El vector 0 es (0,0)

Es un conjunto de elementos ordenados en renglón o columna