PRAVAC

PRAVAC

Težište i težišnica

Kako bi smo odredili jednadžbu težišta i težišnicu, potrebno je: 1) Odrediti polovište dužine P(x_p, y_p) preko aritmetičke sredine. 2)Koristiti formulu y-y_1=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )∙(x-x_1) da bi odredili težište određene dužine. 3)Moramo izjednačiti dvije jednadžbe težišnice kako bi smo dobili jednadžbu sa dvije nepoznanice i koordinate težišnice

Sve tri težišnice trokuta sjeku se u jednoj točci koju nazivamo težišnicom.

Težište je dužina koja spaja vrh trokuta i polovište nasuprotne stranice.

Simetrala kuta

To znači da je d(T, p_1)=d(T,p_2), odnosno |A_1 x+B_1 y+C|/(√(A_1^2 )+B_1^2 )=|A_2 x+B_2 y+C|/(√(A_2^2 )+B_2^2 )

Simetralu bilo kojeg od tih kutova možemo odrediti rabeći formulu za udaljenost točke od pravca.

Dva pravca koji se sijeku određuju dva suplementarna kuta.

Simetrala kuta je pravac kojem je svaka točka jednako udaljena od obaju krakova kuta.

Kriterij okomitosti pravca

Dva pravca zadana jednadžbama u eksplicitnom ili implicitnom obliku, okomita su onda ako vrijedi k_1∙k_2=-1, odnosno A_1A_2+B_1B_2=0.

To znači da nazivnik izraza tan⁡φ=(k_2-k_1)/(1+k_1 k_2 ) mora biti jednak 0.

Ako su dva pravca okomita, onda je kut između njih 90°, pa je tan⁡φ=±∞.

Kriterij paralelnosti pravaca

Dva pravca zadana svojim jednadžbama u eksplicitnom ili implicitnom obliku, paralelna su onda i samo onda ako vrijedi k_1=k_2, odnosno A_1/A_2 =B_1/B_2

Iz formule (k_2-k_1)/(1+k_1 k_2 )=0 vidimo da mora biti k_1=k_2

Dva su pravca paralelna ako je kut između njih 0°. Tada je tan⁡φ=0.

Kut dvaju pravaca

Kut φ između pravca p... y=k_1x+l_1, q...y=k_2x+l_2 računa se iz formule: tan⁡φ=|(k_2-k_1)/(1+k_1 k_2 )|

Uzmimo da je kut φ šiljasti, a α je tupi kut. U tom slučaju vrijedi φ= 180°-α

Ako pravci nisu okomiti, mjera jednog od kutova manja je od 90°, a drugog je veća od 90°.

Dva pravca koja se sijeku određuju dva supleentarna kuta.

Pravci paralelni s koordinatnim osima

Jednadžbu Ax+C=0 zadovoljavaju sve točke (x, y) ravnine za koje vrijedi y= -C/A. Te se točke nalaze na pravcu koji prolazi točkom (-C/A, 0) i paralelan je s osi ordinata.

Jednadžbu By+C=0 zadovoljavaju sve točke (x, y) ravnine za koje vrijedi y= -C/B. Te se točke nalaze na pravcu koji prolazi točkom (0,-C/B) i paralelan je s osi apscisa.

Ortocentar

Da bi došli do koordinata ortocentra potrebno je: 1) Zadovoljiti uvjet okomitosti prema koefic+jentu smjera za visine i stranie trokuta 2)Odrediti jednadžbe pravca za visine trokuta 3)Moramo izjednačiti dvije jednadžbe visina kako bi smo dobili jednadžbu sa dvije nepoznanice i koordinate ortocentra

Pravci koji sadrže visine trokuta sijeku se u jednoj točki koja se naziva ortocentar.

Simetrala dužine

Kako bi smo odredili jednadžbu simetrale dužine potrebno je: 1) Izračunati nagib pravca kroz koje je dužina određena 2) Odrediti polovište dužine P(x_p, y_p) preko aritmetičke sredine. 3) Primjeniti uvjet okomitosti 4) Odrediti jednadžbu pravca uz pomoć formule: y-y_1=k∙(x-x_1)

Svaka je točka simetrale dužine jednako udaljena od krajnjih točaka te dužine.

Simetrala dužine je pravac okomit na dužinu koji prolazi njezinim polovištem.

Udaljenost točke od pravca

Udaljenost točke T(x_0, y_0) od pravca p...Ax+By+C=0 računa se formulom: d=|Ax_0+By_o+C|/√(A^2+B^2 )

To je najkraća udaljenost toćke T i neke točke prvca p.

Koeficjent smjera i jednadžbe pravca

Kada nam je poznat koeficjent smjera i točka T(x_1,x_2), tada koristimo formulu: y-y_1=k∙(x-x_1)

Da bismo odredili jednadžbu pravca koji prolazi točkama A(x_1, y_1) i B(x_2, y_2) tada koristimo sljedeću formulu: y-y_1=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )∙(x-x_1)

Ako su nam poznate kordinate točaka i trebamo odrediti nagib pravca tada koristimo formulu: k=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )

Možemo ga odrediti uz pomoć eksplicitnog oblika jednadžbe pravca

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

Koeficjent l nazivamo odsječak na osi ordinata.

Koeficjent k zovemo nagib ili koeficjent smjera

y=kx+l

Ako pravac nije paralelan s osi ordinta, njegova se jednadžba može napisati u obliku

Implicitni oblik jednadžbe pravca

pri čemu je barem jedan od koeficjenta A, B različit od nule

Ax+By+C=0

Pravac je skup svih točaka (x,y) u ravnini čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu:

Segementni oblik jednadžbe pravca

Iz slike možemo zaključiti da se radi o pravokutnom trokutu, radi toga površina trokuta se računa po formuli: P=|m ∙n|/2

Slovom x označava se odsječak što ga pravac čini sa koordinatnim osima. Zbog toga vrijedi formula x^2=m^2+n^2

x/m+y/n=1

Ako su (m, 0) i (0, n) točke u kojima pravac siječe koordinatne osi onda pravac ima jednadžbu: